Dominio forma differenziale
Salve ragazzi...devo verificare se la seguente forma differenzile è esatta e, in caso positivo, trovarne una primitiva.
$\omega = y^2/(x^2y^2+x^2+y^2+2xy) dx + x^2/(x^2y^2+x^2+y^2+2xy) dy$
Ho verificato che è chiusa, ma trovo problemi con il dominio:
$D={(x,y) in RR^2 : x^2y^2+x^2+y^2+2xy !=0}$
Come posso andare avanti? Grazie mille
$\omega = y^2/(x^2y^2+x^2+y^2+2xy) dx + x^2/(x^2y^2+x^2+y^2+2xy) dy$
Ho verificato che è chiusa, ma trovo problemi con il dominio:
$D={(x,y) in RR^2 : x^2y^2+x^2+y^2+2xy !=0}$
Come posso andare avanti? Grazie mille
Risposte
Si grazie...Non riuscivo a vedere questo passaggio! 
Adesso mi sono calcolata l'integrale della forma differenziale su una curva chiusa (il quadrato di lato 2 che circonda l'origine) e mi è venuto zero. Posso quindi dire che la forma differenziale è esatta. Ho provato anche a calcolare la primitiva e mi esce:
$F(x,y)=arctan((xy)/(x+y))$. Il mio libro invece fa le varie distinzioni con $x>0, y>0$ oppure $x=0, y>0$ o ancora $xy<=0$ e altri casi del gene3re..Perchè? Da dove escono? Grazie mille di nuovo
Adesso mi sono calcolata l'integrale della forma differenziale su una curva chiusa (il quadrato di lato 2 che circonda l'origine) e mi è venuto zero. Posso quindi dire che la forma differenziale è esatta. Ho provato anche a calcolare la primitiva e mi esce:
$F(x,y)=arctan((xy)/(x+y))$. Il mio libro invece fa le varie distinzioni con $x>0, y>0$ oppure $x=0, y>0$ o ancora $xy<=0$ e altri casi del gene3re..Perchè? Da dove escono? Grazie mille di nuovo
Davvero è falso? Un mio amico mi aveva parlato di un teorema sulle curve omotope che mi ha detto si studierà in topologia (esame che devo ancora fare) dove se l'integrale veniva zero allora sicuro era esatta! Mi ero fidata...buono a sapersi...Questo era un errore che commettevo sempre!
Allora $eta(x,y)=arctan((xy)/(x+y))$ è definita in $A={(x,y) in RR^2: y!=-x}$. Quindi come si procede ora? Dobbiamo vedere cosa succede lungo quella retta? Non so proprio come si fanno a fare i diversi casi...anche se ho le soluzioni...e poi il mio libro non ha $arctan((xy)/(x+y))$ ma $-arctan(1/x+1/y)$ e non riesco a visualizzare l'uguaglianza....
Grazie comunque..
Allora $eta(x,y)=arctan((xy)/(x+y))$ è definita in $A={(x,y) in RR^2: y!=-x}$. Quindi come si procede ora? Dobbiamo vedere cosa succede lungo quella retta? Non so proprio come si fanno a fare i diversi casi...anche se ho le soluzioni...e poi il mio libro non ha $arctan((xy)/(x+y))$ ma $-arctan(1/x+1/y)$ e non riesco a visualizzare l'uguaglianza....
Grazie comunque..
AH ecco il teorema...in realtà non mi aveva nemmeno spiegato che vale solo se ha un solo buco!! Grazie mille...sei stato chiarissimo.. 
!!
Per quanto riguarda la soluzione, sicuramente preferisco la tua a quella del libro
$eta(x,y):=\{(-arctan(1/x+1/y), if xy<0), (pi - arctan(1/x+1/y), if x>0, y>0), (-pi-arctan(1/x+1/y), if x<0,y<0), (pi/2, if x=0, y>0 o y=0, x>0), (-pi/2, if x=0, y<0 o y=0,x<0) : }$
(Scusami ma non riesco a scriverla correttamente...spero che tu capisca lo stesso)
Solo che non capisco perchè bisogna differenziare il caso in cui $x+y$ sia maggiore o minore di zero?
Grazie ancoraaaaaa
!!Per quanto riguarda la soluzione, sicuramente preferisco la tua a quella del libro
$eta(x,y):=\{(-arctan(1/x+1/y), if xy<0), (pi - arctan(1/x+1/y), if x>0, y>0), (-pi-arctan(1/x+1/y), if x<0,y<0), (pi/2, if x=0, y>0 o y=0, x>0), (-pi/2, if x=0, y<0 o y=0,x<0) : }$
(Scusami ma non riesco a scriverla correttamente...spero che tu capisca lo stesso)
Solo che non capisco perchè bisogna differenziare il caso in cui $x+y$ sia maggiore o minore di zero?
Grazie ancoraaaaaa
Adesso mi torna tuttooooo..
Davvero grazie mille...sei stato chiarissimo...
Ps la dimostrazione per ora non mi interessa
Davvero grazie mille...sei stato chiarissimo...
Ps la dimostrazione per ora non mi interessa
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