Dominio di una w

[Tycos]

$w= -1/(sqrt(x-(y-1)^2)) dx + 2(y-1)/sqrt(x-(y-1)^2) dy$

si dimostra semplicemente che w è chiusa. Ma per essere esatta bisogna che il dominio sia un aperto semplicemente connesso. Ma in questo caso il dominio sarebbe

$x > (y-1)^2$ e per definizione di dominio aperto semplicemente connesso, devo trovare una curva chiusa e regolare che coincida con la frontiera del dominio. Ma come la trovo se nel dominio ho una parabola????

Mi aiutate per favore??

[Luca.Lussardi]

Hai sbagliato la caratterizzazione dell'aperto connesso; la curva chiusa la trovi solo se l'aperto è limitato, cosa che non vale in questo caso, in cui la parabola di cui parli è bordo.

[alberto.cena]

La parabola $x=(y-1)^2$ è la frontiera del dominio e non vi appartiene. La parabola divide il piano in due regioni: il dominio è, tra le due, quella convessa (intuitivamente, quella "interna" alla parabola). E' connesso per archi ed ogni cammino chiuso è omotopo ad un punto (intuitivamente , non ci sono buchi, come ad esempio in $\mathbb{R}^2 \setminus {(0,0)}$) quindi è semplicemente connesso. A quale definizione fai riferimento quando dici che devi trovare una curva chiusa coincidente con la frontiera?

[Tycos]

"Luca.Lussardi":Hai sbagliato la caratterizzazione dell'aperto connesso; la curva chiusa la trovi solo se l'aperto è limitato, cosa che non vale in questo caso, in cui la parabola di cui parli è bordo.

Nella mia definizione di aperto semplicemente connesso c'è scritto che il dominio è tale se la sua frontiera orientata positivamente coincide con una curva chiusa e regolare. Se in questo caso ho una parabola (oppure facciamo il caso, più semplice in cui $x>y^2$) limitata solo inferiormente, la frontiera del dominio di coinciderà esattamente con la parabola??? Non mi è molto chiaro questo passaggio... sono in confusione

[Tycos]

"5InGold":La parabola $x=(y-1)^2$ è la frontiera del dominio e non vi appartiene. La parabola divide il piano in due regioni: il dominio è, tra le due, quella convessa (intuitivamente, quella "interna" alla parabola). E' connesso per archi ed ogni cammino chiuso è omotopo ad un punto (intuitivamente , non ci sono buchi, come ad esempio in $\mathbb{R}^2 \setminus {(0,0)}$) quindi è semplicemente connesso. A quale definizione fai riferimento quando dici che devi trovare una curva chiusa coincidente con la frontiera?

a quella di domino semplicemente connesso. Quindi mi state dicendo che la parabola stessa dovrebbe fungere da frontiera?

EDIT: non la parabola da frontiera, ma che nel dominio delimitata da essa possiamo trovare qualsiasi curva chiusa e regolare da renderci il dominio semplicemente connesso?

[Luca.Lussardi]

Hai una definizione errata: in $\RR^2$ il semipiano $x>0$ è semplicemente connesso ma ti sfido a trovare una curva chiusa che è il suo bordo.

[alberto.cena]

oppure pensa al dominio $x^2+y^2>1$. La frontiera è la circonferenza, chiusa e limitata, ma il dominio non è semplicemente connesso

[Tycos]

"Luca.Lussardi":Hai una definizione errata: in $\RR^2$ il semipiano $x>0$ è semplicemente connesso ma ti sfido a trovare una curva chiusa che è il suo bordo.

ti ripeto la definizione della nostra professoressa:

A è semplicemente connesso $hArr$ $AA gamma$ regolare, chiusa $subA$ : $gamma= delD$ dove D è un dominio limitato $subA$

però navigando un po' su internet ho trovato:

"La definizione di dominio semplicemente connesso è cmq quella di un dominio in cui ogni curva in esso definita può essere ridotta con continuità fino ad un punto senza uscire fuori dal dominio stesso"

[alberto.cena]

Io facevo riferimento alla definizione che hai trovato su internet: connesso e tale che ogni curva chiusa sia deformabile con continuità in un punto senza uscire dal dominio.
L'insieme $\mathbb{R} \setminus {(0,0)}$ è connesso ma non semplicemente connesso perché qualunque curva chiusa contenente al suo interno $O(0,0)$ non può essere ridotta con continuità ad un punto senza "passare sopra" $O$ e quindi uscire dal dominio.

Secondo la definizione della tua professoressa, richiedi che ogni curva regolare chiusa contenuta in $A$ sia il bordo di qualche dominio limitato contenuto in $A$.
Il bordo di $A$ non appartiene necessariamente ad $A$. Nel tuo caso $A$ è il dominio convesso e illimitato determinato dalla parabola. Ogni $y$ chiuso di $A$ (quindi non consideri la parabola che non appartiene ad $A$ e, inoltre, non è chiusa) è effetivamente il bordo di un dominio limitato $D$ contenuto in $A$ o, equivalentemente, è deformabile in un punto senza uscire da $A$ (basta deformare, passando sopra $D$, in un punto di $D$ stesso)