Dominio di una funzione trigonometrica inversa
Ciao 
Ho riscontrato un problema nel calcolo del dominio di questa funzione:
arcsen(x/(x-2))
per svolgere il calcolo dell'insieme di definizione pongo:
x≠2
(a) x/(x-2) >= -1
(b) x/(x-2) <= 1
Quindi:
(a) 2x-2/(x-2)>=0
Svolgendo i due sistemi [2x-2>=0 ; x-2>=0] e [2x-2<0 ; x-2<=0] le soluzioni sono rispettivamente x>2 e x<=1
(b) 2/(x-2)
Svolgendo i due sistemi [2>=0; x-2<=0] e [2<=0; x-2>=0] il primo ha come soluzione x<2 e il secondo è Ø.
Secondo il calcolatore il dominio dovrebbe essere x<=1 ed ho verificato che è effettivamente così, sostituendo nella funzione valori minori o uguali ad uno. Sicuramente mi sfugge qualcosa, perché non capisco come mai nella soluzione il dominio è rappresentato solo dalla soluzione del secondo sistema (a).
Spero che possiate aiutarmi, grazie
Ho riscontrato un problema nel calcolo del dominio di questa funzione:
arcsen(x/(x-2))
per svolgere il calcolo dell'insieme di definizione pongo:
x≠2
(a) x/(x-2) >= -1
(b) x/(x-2) <= 1
Quindi:
(a) 2x-2/(x-2)>=0
Svolgendo i due sistemi [2x-2>=0 ; x-2>=0] e [2x-2<0 ; x-2<=0] le soluzioni sono rispettivamente x>2 e x<=1
(b) 2/(x-2)
Svolgendo i due sistemi [2>=0; x-2<=0] e [2<=0; x-2>=0] il primo ha come soluzione x<2 e il secondo è Ø.
Secondo il calcolatore il dominio dovrebbe essere x<=1 ed ho verificato che è effettivamente così, sostituendo nella funzione valori minori o uguali ad uno. Sicuramente mi sfugge qualcosa, perché non capisco come mai nella soluzione il dominio è rappresentato solo dalla soluzione del secondo sistema (a).
Spero che possiate aiutarmi, grazie
Risposte
Le formule aaaargh usa le formuleeee!!! Mi raccomando, dal prossimo post eh!
Guardiamo a):
- studio segno numeratore: è positivo per $x\geq 1$
- studio segno denominatore: è positivo per $x>2$
Facendo la tabella dello studio del segno vediamo che la frazione è positiva in $x\leq 1 \cup x>2$.
Guardiamo b):
non serve nemmeno studiare numeratore e denominatore. Il numeratore è una costante positiva! Dunque la diseguaglianza b) è soddisfatta per $x<2$.
Ora intersechiamo le 3 condizioni, cioè $x\ne 2$, a), b) e otteniamo così $x\leq 1$.
Fammi sapere se hai capito.
Paola
Guardiamo a):
- studio segno numeratore: è positivo per $x\geq 1$
- studio segno denominatore: è positivo per $x>2$
Facendo la tabella dello studio del segno vediamo che la frazione è positiva in $x\leq 1 \cup x>2$.
Guardiamo b):
non serve nemmeno studiare numeratore e denominatore. Il numeratore è una costante positiva! Dunque la diseguaglianza b) è soddisfatta per $x<2$.
Ora intersechiamo le 3 condizioni, cioè $x\ne 2$, a), b) e otteniamo così $x\leq 1$.
Fammi sapere se hai capito.
Paola
Grazie mille, Paola! Quindi in situazioni come questa (2 disequazioni con 2 sistemi ciascuna) bisogna intersecare le soluzioni dei quattro sistemi per calcolare il dominio? Era proprio questo a non essermi chiaro, infatti ci avevo provato, ma pensavo che si trattasse solo di una coincidenza.
P.S. Mi scuso per non aver usato le formule!
P.S. Mi scuso per non aver usato le formule!
Attenzione, attenzione... I passaggi logici sono i seguenti: prima poniamo le tre condizioni $x\ne 2$, a), b). Queste tre condizioni andranno intersecate, perché affinchè la funzione abbia senso devono valere tutte e tre contemporaneamente. Perciò ci accingiamo a risolverle separatamente ricordando bene che alla fine dovremo intersecare le soluzioni.
Poi ci mettiamo all'opera e iniziamo, ad esempio, da a). a) coinvolge una frazione di cui dobbiamo studiare il segno, in particolare ci chiede quando la frazione $2 \frac{x-1}{x-2}$ è positiva o uguale a zero. Dobbiamo quindi fare uno studio del segno che non è intersecare gli insiemi di positività di numeratore ($x\geq 1$) e denominatore ($x>2$)! Infatti, se ci pensi, l'intera frazione è positiva anche nel caso in cui sia numeratore che denominatore sono negativi (meno per meno dà più!). Per questo motivo si fa il cosiddetto studio del segno (esempio).
Paola
Poi ci mettiamo all'opera e iniziamo, ad esempio, da a). a) coinvolge una frazione di cui dobbiamo studiare il segno, in particolare ci chiede quando la frazione $2 \frac{x-1}{x-2}$ è positiva o uguale a zero. Dobbiamo quindi fare uno studio del segno che non è intersecare gli insiemi di positività di numeratore ($x\geq 1$) e denominatore ($x>2$)! Infatti, se ci pensi, l'intera frazione è positiva anche nel caso in cui sia numeratore che denominatore sono negativi (meno per meno dà più!). Per questo motivo si fa il cosiddetto studio del segno (esempio).
Paola
Ho espresso malissimo il concetto, ma avevo capito 
Sei stata chiarissima! Comunque la condizione [size=150]x≠2[/size] l'avevo inclusa nelle soluzioni dei sistemi scrivendo [size=150]x<2[/size] e [size=150]x>2[/size] , anziché [size=150]≤[/size] e [size=150]≥[/size]
Sei stata chiarissima! Comunque la condizione [size=150]x≠2[/size] l'avevo inclusa nelle soluzioni dei sistemi scrivendo [size=150]x<2[/size] e [size=150]x>2[/size] , anziché [size=150]≤[/size] e [size=150]≥[/size]
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