Dominio di una funzione integrale.
Ciao, non ho ben capito come fare il dominio di una funzione integrale.
Il probelma mi si è posto su questo esercizio :
f(x)=$\ {(1/(1-|x-1|), |x|>2),(sin(πx), -2<=x<0),(x2^-x, 0<=x<=2):}$
F(x)=$int_1^(2x)f(t)dt$
grazie in anticipo
Il probelma mi si è posto su questo esercizio :
f(x)=$\ {(1/(1-|x-1|), |x|>2),(sin(πx), -2<=x<0),(x2^-x, 0<=x<=2):}$
F(x)=$int_1^(2x)f(t)dt$
grazie in anticipo
Risposte
Per lo studio della funzione integrale, dai uno sguardo qui.
Per quanto riguarda il dominio, il dominio della funzione integrale coincide con più grande intervallo contenente il punto \(1\) (punto iniziale della tua funzione integrale) in cui l'integrando risulta integrabile.
Per quanto riguarda il dominio, il dominio della funzione integrale coincide con più grande intervallo contenente il punto \(1\) (punto iniziale della tua funzione integrale) in cui l'integrando risulta integrabile.
Avevo giá guardato quella pagina, ma il mio problema riguarda solo lo studio del dominio il resto lo riesco a fare.
Non ho capito se per studiare il dominio devo integrare la funzione e studiare il dominio della funzione integranda
oppure c'è un metodo più semplice e diretto.
Non ho capito se per studiare il dominio devo integrare la funzione e studiare il dominio della funzione integranda
oppure c'è un metodo più semplice e diretto.
Come già detto:
"gugo82":
Per quanto riguarda il dominio, il dominio della funzione integrale coincide con più grande intervallo contenente il punto \(1\) (punto iniziale della tua funzione integrale) in cui l'integrando risulta integrabile.
Si ho capito, ma non riesco a calcolarlo..
Il tuo punto iniziale cade in \([0,2]\).
In tale intervallo la tua funzione è continua ed integrabile, quindi \([0,2]\subseteq \operatorname{Dom} F\).
Vediamo se è possibile estendere \(\operatorname{Dom} F\) a sinistra di \(0\) o a destra di \(2\).
Supponiamo che \(\operatorname{Dom} F\) contenga qualche punto \(\xi >2\); allora per proprietà additiva:
\[
F(\xi ):= \int_0^2 f(t)\ \text{d} t +\int_2^\xi f(t)\ \text{d} t
\]
ma il secondo addendo non è finito (infatti l'integrando non è impropriamente integrabile a destra di \(2\), poiché è in tale punto un infinito d'ordine \(1\)) e ciò è assurdo poiché in un punto \(x\) del dominio non si può avere \(F(x) =\pm \infty\). Quindi \(\operatorname{Dom} F\) non si prolunga a destra di \(2\).
D'altra parte \(f\) è continua in \(0\) ed in \([-2,0[\), quindi l'integrale:
\[
F(x):=\int_1^x f(t)\ \text{d} t =-\int_x^1 f(t)\ \text{d} t =- \left( \int_x^0 f(t)\ \text{d} t+\int_0^1 f(t)\ \text{d} t\right)
\]
è ben definito. Ne viene che \([-2,0]\subseteq \operatorname{Dom} F\), ossia che \([-2,2]\subseteq \operatorname{Dom} F\).
Vediamo allora se \(\operatorname{Dom} F\) è prolungabile a sinistra di \(-2\).
La funzione integranda esibisce una discontinuità di salto in \(-2\) ed è continua a sinistra di tale punto; dato che l'integrale di Riemann "non vede" le discontinuità di prima specie, è evidente che comunque si fissi \(x <-2\) risulta:
\[
F(x) = - \left( \int_x^{-2} f(t)\ \text{d} t+\int_{-2}^1 f(t)\ \text{d} t\right)
\]
quindi \(F(x)\) si può ben definire come somma di due integrali impropri finiti. Ne consegue che \(]-\infty ,-2[\subseteq \operatorname{Dom} F\).
Visto che non possiamo allargarci oltre, abbiamo dimostrato che \(\operatorname{Dom} F=]-\infty ,2]\).
In tale intervallo la tua funzione è continua ed integrabile, quindi \([0,2]\subseteq \operatorname{Dom} F\).
Vediamo se è possibile estendere \(\operatorname{Dom} F\) a sinistra di \(0\) o a destra di \(2\).
Supponiamo che \(\operatorname{Dom} F\) contenga qualche punto \(\xi >2\); allora per proprietà additiva:
\[
F(\xi ):= \int_0^2 f(t)\ \text{d} t +\int_2^\xi f(t)\ \text{d} t
\]
ma il secondo addendo non è finito (infatti l'integrando non è impropriamente integrabile a destra di \(2\), poiché è in tale punto un infinito d'ordine \(1\)) e ciò è assurdo poiché in un punto \(x\) del dominio non si può avere \(F(x) =\pm \infty\). Quindi \(\operatorname{Dom} F\) non si prolunga a destra di \(2\).
D'altra parte \(f\) è continua in \(0\) ed in \([-2,0[\), quindi l'integrale:
\[
F(x):=\int_1^x f(t)\ \text{d} t =-\int_x^1 f(t)\ \text{d} t =- \left( \int_x^0 f(t)\ \text{d} t+\int_0^1 f(t)\ \text{d} t\right)
\]
è ben definito. Ne viene che \([-2,0]\subseteq \operatorname{Dom} F\), ossia che \([-2,2]\subseteq \operatorname{Dom} F\).
Vediamo allora se \(\operatorname{Dom} F\) è prolungabile a sinistra di \(-2\).
La funzione integranda esibisce una discontinuità di salto in \(-2\) ed è continua a sinistra di tale punto; dato che l'integrale di Riemann "non vede" le discontinuità di prima specie, è evidente che comunque si fissi \(x <-2\) risulta:
\[
F(x) = - \left( \int_x^{-2} f(t)\ \text{d} t+\int_{-2}^1 f(t)\ \text{d} t\right)
\]
quindi \(F(x)\) si può ben definire come somma di due integrali impropri finiti. Ne consegue che \(]-\infty ,-2[\subseteq \operatorname{Dom} F\).
Visto che non possiamo allargarci oltre, abbiamo dimostrato che \(\operatorname{Dom} F=]-\infty ,2]\).
Grazie mille... Ora ho capito..
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