Dominio di una funzione al variare di un parametro
Come da titolo sto cercando di svolgere questo esercizio:
Sicuramente posso affermare che $x \ne 0 \forall \alpha \in RR$ a causa del logaritmo, inoltre affinchè il dominio non sia vuoto deve essere che $\alpha -2x^{2}+6x+4\log(x) \ge 0$. Per semplicità[nota]In realtà non mi ricordo perché, l'esercizio l'ho provato a fare oggi pomeriggio, ora ho semplicemente ricopiato quello che ho fatto e quello che non mi torna[/nota] ho deciso di cercare gli $\alpha$ tali che l'argomento della radice sia negativo, ossia quelli per cui il dominio è vuoto. Una volta trovati saprò che per i valori $RR \setminus {\alpha_{i}}$ il dominio non sarà vuoto.
Quindi cerco gli $\alpha$ che rendono vera $\forall x$ la disequazione $\alpha -2x^{2}+6x+4\log(x) < 0$.
Geometricamente so che il problema consiste nel trovare per quali $\alpha$ la parabola $2x^{2}-6x-\alpha$ "sta sempre sopra" il $4log(x)$, inoltre so che al variare di $\alpha$ la parabola viene traslata in alto o in basso quindi non mi resta altro che cercare di trovare il valore di $alpha$ per cui la parabola e il logaritmo sono tangenti.
E' a questo punto che credo di compiere qualche passo falso, dico che la parabola e il logaritmo si intersecano nel punto in cui la loro derivata è uguale (intuitivamente mi pare abbia senso), dunque $4x-6=\frac{4}{x}$.
Risolvendo l'equazione mi vengono due soluzioni; una positiva e una negativa, scarto quella negativa perché il logaritmo non esiste per valori negativi, quella positiva è $2$. Quindi ora dovrei avere che le la parabola e il logaritmo per l'unico $\alpha$ in cui sono tangenti lo sono in $x=2$.
Ora valuto $2x^{2}-6x-\alpha=4log(x)$ in $x=2$ e mi viene che $\alpha=-4(log(2)+1)$, però plottando la parabola (con tale alpha) e il logaritmo essi sono visivamente non tangenti, anzi si intersecano in due punti distinti.
Cosa sto sbagliando?
Grazie mille per le future risposte
Per quali $\alpha \in RR$ il dominio di $f(x)=\sqrt{\alpha -2x^{2}+6x+4\log(x)}$ non è vuoto?
Sicuramente posso affermare che $x \ne 0 \forall \alpha \in RR$ a causa del logaritmo, inoltre affinchè il dominio non sia vuoto deve essere che $\alpha -2x^{2}+6x+4\log(x) \ge 0$. Per semplicità[nota]In realtà non mi ricordo perché, l'esercizio l'ho provato a fare oggi pomeriggio, ora ho semplicemente ricopiato quello che ho fatto e quello che non mi torna[/nota] ho deciso di cercare gli $\alpha$ tali che l'argomento della radice sia negativo, ossia quelli per cui il dominio è vuoto. Una volta trovati saprò che per i valori $RR \setminus {\alpha_{i}}$ il dominio non sarà vuoto.
Quindi cerco gli $\alpha$ che rendono vera $\forall x$ la disequazione $\alpha -2x^{2}+6x+4\log(x) < 0$.
Geometricamente so che il problema consiste nel trovare per quali $\alpha$ la parabola $2x^{2}-6x-\alpha$ "sta sempre sopra" il $4log(x)$, inoltre so che al variare di $\alpha$ la parabola viene traslata in alto o in basso quindi non mi resta altro che cercare di trovare il valore di $alpha$ per cui la parabola e il logaritmo sono tangenti.
E' a questo punto che credo di compiere qualche passo falso, dico che la parabola e il logaritmo si intersecano nel punto in cui la loro derivata è uguale (intuitivamente mi pare abbia senso), dunque $4x-6=\frac{4}{x}$.
Risolvendo l'equazione mi vengono due soluzioni; una positiva e una negativa, scarto quella negativa perché il logaritmo non esiste per valori negativi, quella positiva è $2$. Quindi ora dovrei avere che le la parabola e il logaritmo per l'unico $\alpha$ in cui sono tangenti lo sono in $x=2$.
Ora valuto $2x^{2}-6x-\alpha=4log(x)$ in $x=2$ e mi viene che $\alpha=-4(log(2)+1)$, però plottando la parabola (con tale alpha) e il logaritmo essi sono visivamente non tangenti, anzi si intersecano in due punti distinti.
Cosa sto sbagliando?
Grazie mille per le future risposte
Risposte
Ciao,
la parabola è $2x^2-6x-\alpha$. Con $\alpha= -4(log2+1)$ diventa $2x^2-6x+4(log2+1)$. Sicuro di non aver "graficato" $2x^2-6x-4(log2+1)$?
la parabola è $2x^2-6x-\alpha$. Con $\alpha= -4(log2+1)$ diventa $2x^2-6x+4(log2+1)$. Sicuro di non aver "graficato" $2x^2-6x-4(log2+1)$?
Purtroppo no, plotto quella giusta.
Allego il grafico (purtroppo ora sono da mobile e non riesco a inserire il grafico in altro modo)
Allego il grafico (purtroppo ora sono da mobile e non riesco a inserire il grafico in altro modo)
Nel grafico hai usato i logaritmi decimali al posto di quelli naturali.
Ciao
Ciao
Non ho parole, che fesso 
Ho cambiato app sul telefono per i grafici e ho dato per scontato che con log intendesse i logaritmi naturali come quella di prima.
Grazie mille
Ho cambiato app sul telefono per i grafici e ho dato per scontato che con log intendesse i logaritmi naturali come quella di prima.
Grazie mille
Prego mille. Non esagerare nello sminuirti! il vantaggio di noi diversamente giovani consiste sostanzialmente nell'aver commesso una quantità talmente elevata di sviste, da riuscire ad individuare con più facilità quelle degli altri
Ciao
Ciao
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