Dominio di una funzione a due variabili
Buongiorno, mi servirebbe una mano con il dominio di questa funzione in due variabili:
$F(x,y)=sqrt(x- 1) + log(y-1) - sqrt(xe^y - ye^x)$.
Ovviamente il problema sta nella disequazione $xe^y-ye^x>=0$.
Sapendo che $x >=1$ e $y>1$, come mi comporto con la disequazione sopra citata?
$F(x,y)=sqrt(x- 1) + log(y-1) - sqrt(xe^y - ye^x)$.
Ovviamente il problema sta nella disequazione $xe^y-ye^x>=0$.
Sapendo che $x >=1$ e $y>1$, come mi comporto con la disequazione sopra citata?
Risposte
Ciao manuelb93,
Mah, la lascerei così, non è che si può fare molto se non magari metterla in forma diversa:
$xe^y-ye^x>=0 \implies x e^y \ge y e^x \implies e^{y - x} \ge y/x \implies y - x \ge ln(y/x) \implies y - x \ge ln(y) - ln(x) $
Mah, la lascerei così, non è che si può fare molto se non magari metterla in forma diversa:
$xe^y-ye^x>=0 \implies x e^y \ge y e^x \implies e^{y - x} \ge y/x \implies y - x \ge ln(y/x) \implies y - x \ge ln(y) - ln(x) $
Il fatto è che il libro mi da come soluzione ${(x,y): 1<=x<=y}\(1,1)$
Per me c'è un errore sul libro, è parzialmente vero solo se supponiamo che sia $ y > x $: oltretutto non può essere $x = y = 1 $ per via del secondo termine $log(y - 1) $.
Graficamente, supponendo $y > x $, il dominio $ 1 \le x < y $ è il seguente:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=xe%5Ey-ye%5Ex%3E%3D0+and+x+%5Cge+1+and+y+%3E+1
Graficamente, supponendo $y > x $, il dominio $ 1 \le x < y $ è il seguente:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=xe%5Ey-ye%5Ex%3E%3D0+and+x+%5Cge+1+and+y+%3E+1
Come fai a dire che $e^(y- x)>1$?
Hai ragione, non posso dirlo, è solo l'ipotesi necessaria affinché il dominio sia quello indicato nel mio post precedente... 
Se viene a mancare l'ipotesi, allora $D := \{(x, y) \in \RR : x \ge 1, y > 1, x e^y \ge y e^x \} $
Se viene a mancare l'ipotesi, allora $D := \{(x, y) \in \RR : x \ge 1, y > 1, x e^y \ge y e^x \} $
A mio avviso la soluzione del libro è corretta, a patto che termini con $ /(1,1) $ e non con $ (1,1) $, come riportato.
La dimostrazione si può condurre a partire dalla condizione ottenuta da pilloeffe: $ y-x>=ln y-ln x$.
Se $ y=x $ vale evidentemente l'uguaglianza.
Se $ y>x $ dividendo, si ottiene $ 1>= (ln y - lnx)/(y-x) $, vera perché il coefficiente angolare di una qualsiasi secante la curva del logaritmo naturale in due punti di ascissa [strike]maggiore[/strike] non minore di uno è sempre minore di uno.
Se $ y
La dimostrazione si può condurre a partire dalla condizione ottenuta da pilloeffe: $ y-x>=ln y-ln x$.
Se $ y=x $ vale evidentemente l'uguaglianza.
Se $ y>x $ dividendo, si ottiene $ 1>= (ln y - lnx)/(y-x) $, vera perché il coefficiente angolare di una qualsiasi secante la curva del logaritmo naturale in due punti di ascissa [strike]maggiore[/strike] non minore di uno è sempre minore di uno.
Se $ y
"orsoulx":
A mio avviso la soluzione del libro è corretta, a patto che termini con $ /(1,1) $ e non con $ (1,1) $, come riportato.
Perfetto, infatti ho commesso un errore di battitura. Ok, adesso ha senso. Grazie mille
"orsoulx":
A mio avviso la soluzione del libro è corretta, a patto che termini con $ /(1,1) $ e non con $ (1,1) $, come riportato.
Perfetto, infatti ho commesso un errore di battitura. Ok, adesso ha senso. Grazie mille
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