Dominio di una funzione

[Husky64]

Salve, data la seguente funzione $ f(x)=arccos(1/tan(x)) $ calcolarne il dominio. Vorrei delucidazioni riguardo a un solo passaggio dell'esercizio, ovvero: $ -1<=1/tan(x)<=1 $. Il mio prof a questo punto passa direttamente a $ tan(x)<=-1vv tan>=1 $. Non capisco come faccia ad arrivare qui, anche perché continuando nella disequazione si ottengono risultati diversi. è lecito scrivere così? Posso considerare $ 1/tan(x)=cot(x) $?
Grazie.

[gugo82]

Beh, le disequazioni $-1 <= 1/(tan x) <= 1$ sono equivalenti ai sistemi:

$\{ (tan x > 0), (tan >= 1):} vv \{(tan x < 0), (tan x <= -1):}$

e da ciò vedi che le prime due condizioni sono meno restrittive delle seconde, quindi bastano ed avanzano:

$tan x >= 1 vv tan x <= -1$.
Per abbreviare il ragionamento, tieni presente che $-1 <= 1/(tan x) <= 1$ equivale a $1/|tan x| <= 1$, da cui $|tan x| >= 1$ e perciò $tan x <= -1 vv tan x >= 1$.

Ovviamente, a queste va aggiunta la condizione $x != pi/2 + k pi$ (esistenza della tangente), mentre la condizione $tan x != 0$ (esistenza di $1/(tan x)$) è superflua per via delle due condizioni di cui sopra.

[Husky64]

Ora mi è chiaro.
La ringrazio.

[dissonance]

Fermo restando quanto dice Gugo,

"Husky64":Posso considerare $ 1/tan(x)=cot(x) $?
Grazie.

Certo. È la definizione di "cotangente". Ma non è altro che notazione, niente di sostanziale.

[gugo82]

"dissonance":Fermo restando quanto dice Gugo,
[quote="Husky64"]Posso considerare $ 1/tan(x)=cot(x) $?
Grazie.

Certo. È la definizione di "cotangente". Ma non è altro che notazione, niente di sostanziale.[/quote]
Beh, no.

Cosa succede in $pi/2$?

[dissonance]

Certo, hai ragione, sono dettagli che poi nella pratica uno trascura ma non e' un bene. La cotangente e' il prolungamento per continuita' di \(\frac{1}{\tan x}\) nei multipli di \(\pi/2\), in cui la tangente ha asintoto verticale. Quindi il proprio dominio e' strettamente piu' grande del dominio di \(\frac{1}{\tan x}\).