Dominio di un logaritmo e disequazione
Buonasera a tutti.
Mi trovo ad affrontare questo esercizio in cui mi si chiede una ricerca di max/min della funzione
$ f(x,y)= ln(1+x/y) + x $
Il primo passaggio è quindi lo studio del dominio.
Mi ritrovo quindi a dover analizzare:
$ 1+x/y > 0 $
Sembra innoquo ma sarà un certo digouno in disequazioni (ed in generale), faccio molta fatica a procedere, continuando a non riuscire a disegnare correttamente il dominio.
Mi aiuto allora con Wolfram, che mi suggerisce di dover analizzare questo sistema:
$ { ( y!=0 ),( y(x+y)>0):} $
Non avendo idea di come ricavi questo sistema, procedo e verifico che, ovviamente, è corretto.
Non riuscendo a trovare/capire come lui ricavi il sistema, mi metto di impegno nel tentativo di ricavare la soluzione in autonomia e dopo una oretta abbondante e un quasi melt down, ottengo lo stesso risultato nella maniera che vi illustro qui.
La mie domande sono:
Il mio ragionamento è corretto? (per chi si vuole avventurare, perchè in effetti non so esattamente cosa ho fatto!!!)
Ma soprattutto, dove avrei dovuto ricavare il fatto che
analizzare $ 1+x/y>0 $ corrisponde ad analizzare $ y(x+y)>0 $ ?, concludendo il tutto in 5 minuti?
Grazie a tutti.
Mi trovo ad affrontare questo esercizio in cui mi si chiede una ricerca di max/min della funzione
$ f(x,y)= ln(1+x/y) + x $
Il primo passaggio è quindi lo studio del dominio.
Mi ritrovo quindi a dover analizzare:
$ 1+x/y > 0 $
Sembra innoquo ma sarà un certo digouno in disequazioni (ed in generale), faccio molta fatica a procedere, continuando a non riuscire a disegnare correttamente il dominio.
Mi aiuto allora con Wolfram, che mi suggerisce di dover analizzare questo sistema:
$ { ( y!=0 ),( y(x+y)>0):} $
Non avendo idea di come ricavi questo sistema, procedo e verifico che, ovviamente, è corretto.
Non riuscendo a trovare/capire come lui ricavi il sistema, mi metto di impegno nel tentativo di ricavare la soluzione in autonomia e dopo una oretta abbondante e un quasi melt down, ottengo lo stesso risultato nella maniera che vi illustro qui.
La mie domande sono:
Il mio ragionamento è corretto? (per chi si vuole avventurare, perchè in effetti non so esattamente cosa ho fatto!!!)
Ma soprattutto, dove avrei dovuto ricavare il fatto che
analizzare $ 1+x/y>0 $ corrisponde ad analizzare $ y(x+y)>0 $ ?, concludendo il tutto in 5 minuti?
Grazie a tutti.
Risposte
Ciao lackyluk,
Beh, è semplice, basta fare il denominatore comune e si ottiene $(x + y)/y > 0 $
Poi cosa si fa di solito nelle disequazioni frazionarie? Si studia il segno del numeratore $x + y > 0 \implies y > - x $ e quello del denominatore $y > 0 $. Poi si fa il grafico del segno del numeratore, del segno del denominatore e quindi si ricava il segno del quoziente $(x + y)/y $, che è lo stesso del prodotto $y(x + y) $
Riassumendo, $(x + y)/y > 0 $ per $y > - x $ e $y > 0 $ oppure per $y < - x $ e $y < 0 $
"lackyluk":
Ma soprattutto, dove avrei dovuto ricavare il fatto che
analizzare $1+x/y>0$ corrisponde ad analizzare $y(x+y)>0$ ?, concludendo il tutto in 5 minuti?
Beh, è semplice, basta fare il denominatore comune e si ottiene $(x + y)/y > 0 $
Poi cosa si fa di solito nelle disequazioni frazionarie? Si studia il segno del numeratore $x + y > 0 \implies y > - x $ e quello del denominatore $y > 0 $. Poi si fa il grafico del segno del numeratore, del segno del denominatore e quindi si ricava il segno del quoziente $(x + y)/y $, che è lo stesso del prodotto $y(x + y) $
Riassumendo, $(x + y)/y > 0 $ per $y > - x $ e $y > 0 $ oppure per $y < - x $ e $y < 0 $
"pilloeffe":
si ricava il segno del quoziente $(x + y)/y $, che è lo stesso del prodotto $y(x + y) $
Sei una salvezza pilloeffe.
Un ora di angoscai per non aver considerato quanto hai scritto, cosa però non necessariamente banale o evidente.
Ti chiedo quindi, è codificata da qualche parte, cioè è tipico nelle disequazioni frazionarie vedere una divisione come prodotto (essendo il loro esito lo stesso rispetto al segno) o è stata una tua deduzione "al volo"?
Grazie comunque.
Ps. Se e quando avrai tempo, dai un occhiata alla mia versione.
Ti sembra corretta come analisi?
Di nuovo grazie, un saluto.
Ti sembra corretta come analisi?
Di nuovo grazie, un saluto.
No, è evidentemente un tuo ragionamento.
Non so perchè io sia voluto partire da $ x/y > -1 $, non vedendo quanto sarebbe stato più agevole partire dal MCD, ma una volta fatto questo credo sarei riuscito a collegare che $ (x+y)/y >0 $ equivale a $ y(x+y) > 0 $
Grazie ancora pilloeffe, un saluto.
Non so perchè io sia voluto partire da $ x/y > -1 $, non vedendo quanto sarebbe stato più agevole partire dal MCD, ma una volta fatto questo credo sarei riuscito a collegare che $ (x+y)/y >0 $ equivale a $ y(x+y) > 0 $
Grazie ancora pilloeffe, un saluto.
"lackyluk":
è codificata da qualche parte, cioè è tipico nelle disequazioni frazionarie vedere una divisione come prodotto (essendo il loro esito lo stesso rispetto al segno) o è stata una tua deduzione "al volo"?
Beh, è uno dei principi di equivalenza: moltiplicando ambedue i membri di una disequazione per una quantità positiva ($y^2 $ nel caso in esame) si ottiene una disequazione ($y(x + y) > 0$) equivalente a quella data $(x + y)/y > 0$
In realtà il ragionamento che avrei fatto io se non avessi visto scritto quel $y(x + y) $ sarebbe stato il solito: quand'è che un rapporto è positivo? Quando il numeratore $x + y $ ed il denominatore $y $ sono entrambi positivi oppure quando sono entrambi negativi.
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