Dominio di integrazione integrali tripli

[giuli910]

Non capisco come trovare i domini su cui integrare per risolvere integrali tripli mediante il teorema di riduzione.
Ad esempio debbo risolvere questo integrale: $ int int int_(B) xdx dy dz $ dove $ B={(x,y,z)| x^2+y^2<= 1; -3<= z<=x} $ .
Devo spezzare il dominio in due parti in modo tale che la variabile di integrazione più esterna sia compresa in un intervallo, e le due più interne siano in funzione di quella più esterna.
Qualcuno potrebbe spiegarmi il ragionamento che ci sta dietro ?

[Berationalgetreal]

Il metodo che menzioni si chiama integrazione per strati . Un altro metodo, che a mio avviso è più conveniente in questo caso, è l'integrazione per fili : si ricavano gli estremi di integrazione della \(z\) in funzione di \(x,y \), e si integra rispetto a \( z \) la funzione. Poi, del risultato se ne fa un integrale doppio sulla proiezione nel piano \(x,y \) del dominio (sto di molto semplificando l'argomento; per una trattazione migliore e rigorosa consulta un libro di Analisi 2). Nel tuo caso:

\[ \underset{B}{\iiint} x \; \text{d} x \; \text{d} y \; \text{d} z = \underset{ x^2 + y^2 \leq 1 }{\iint} \left ( \int_{-3}^{x} x \; \text{d} z \right ) \; \text{d} x \; \text{d} y = \underset{x^2 + y^2 \leq 1}{\iint} \left (x^2 + 3x \right) \; \text{d} x \; \text{d} y \]

[giuli910]

Ok grazie mille! Ho un'altra domanda:
$ B={(x,y,z) | x^2/4 +y^2/9 +z^2/25<1, z< sqrt(x^2/4 + y^2/9) } $ , posso fare le seguenti considerazioni ?
$ x^2/4 +y^2/9<1-z^2/25 $ è una ellisse se e solo se $ 1-z^2/25>0 $ quindi per $ -5 Quando $ 1-z^2/25 z V x^2/4 +y^2/9<-z $.
Può andare oppure mi conviene utilizzare l'integrazione per fili, come prima ?