Dominio di integrazione di un integrale triplo (per fili)

[Riccardo Desimini]

Ciao a tutti, scrivo in merito al seguente problema.

Consideriamo il tetraedro che ha come vertici i punti di coordinate $ (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) $.

L'obiettivo è esprimere questo dominio di integrazione nella forma
\[ D = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3\ \vert\ (x,y) \in T,\ g(x,y) \le z \le h(x,y) \} \]
Trovare $ T $ è banale: basta considerare la faccia del tetraedro sul piano [xy] per concludere che
\[ T = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2\ \vert\ x \in [0,1],\ 0 \le y \le 1-x \} \]
Ciò che mi dà problemi è l'espressione analitica di $ h $ (quella di $ g $ è $ g(x,y) = 0 $).

Il mio testo dice che $ z \in [0, 1-x-y] $, ma non ho proprio idea da dove possa tirar fuori quel piano.

Chi mi aiuta?

[ithilion6]

allora io l'ho risolto ragionando prima sul piano x-y, ovvero esplicitando la retta che congingeva i 2 punti e 0= poi pensando di far variare z tra 0 e il piano congiungente itre punti(con un sistemino, o anche solo un equzione ragionata lo trovi) 0=

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[Riccardo Desimini]

"TeM":E' evidente che si tratta del tetraedro delimitato
dai piani coordinati e da un piano "trasverso":
precisamente da \( x + y + z = 1 \).

Che ci sia un piano inclinato si vede, il problema è che quell'equazione non è altrettanto ovvia.

"TeM":P.S.: nel dubbio, ricorda che per tre punti
non allineati passa uno ed un solo piano !
Dato che i tre punti sono noti ...

Questa osservazione mi convince molto di più. Grazie.

"ithilion6":Poi se non ho sbagliato i conti il volume me viene 1/6. Prova a rifarlo e dimme!!!

Era richiesta solo l'espressione del dominio, nessun volume. Grazie comunque.

[Riccardo Desimini]

Terrò presente il tuo consiglio.