Dominio di integrazione di un integrale doppio

[SaraPone]

Arrivo a disegnare il dominio e calcolare i punti di intersezione.
Poi non riesco a capire cosa significa prendere il dominio "normale rispetto all'asse x /y" , quindi la x/y libera e la y/x dipendente dalla x/y. Tutto questo passaggio proprio non sono riuscita a decifrarlo.

Provo a dare un esempio:

\(\displaystyle \int x dxdy \)

su \(\displaystyle A = \{ (x,y) \in \Re; 1-x \leq y \leq x, x^2 + y^2 \leq 1 \} \)

retta1: \(\displaystyle y=x \)
retta2: \(\displaystyle y=1-x \)
circonferenza: \(\displaystyle x^2+y^2=1 \)

I punti di intersezione sono
retta1 e retta2: \(\displaystyle (\frac{1}{2},\frac{1}{2}) \)
retta1 e circonferenza: \(\displaystyle (\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} )\)
retta2 e circonferenza: \(\displaystyle (1,0) \)

Ora: in base a cosa si scelgono gli estremi per \(\displaystyle x \) e per \(\displaystyle y \)?
Potreste farmi vedere anche il dominio disegnato perché sono sicura al 100% che il mio sia corretto?

Grazie mille!

Spero di risultare comprensibile, ma questo passaggio per me è oscuro, non so nemmeno come esprimerlo

[seb1]

Un dominio normale rispetto, ad esempio, all'asse delle ascisse è semplicemente un dominio in cui riesci a stringere le ordinate tra due funzioni in tutto l'intervallo desiderato: \(D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|\alpha\leqslant x\leqslant\beta,\>\phi(x)\leqslant y(x)\leqslant\psi(x),\>\phi,\psi\in C[\alpha,\beta]\}\).
Prova a capire bene questa definizione intanto.
(Se sei "sicura al 100% che il [tuo dominio] sia corretto" non c'è bisogno di mostrartelo )

[SaraPone]

E nella pratica quindi cosa dovrei fare? Come uso i dati che ho per ricavare i nuovi estremi? Ho anche la soluzione ma non riesco a capire a fondo perché si faccia così...

Ahah, mi sono persa un "non", ovviamente intendevo "non sono sicura al 100%"

Grazie per la risposta

[SaraPone]

Questo è il mio dominio

[seb1]

"aliensnowball":Ahah, mi sono persa un "non", ovviamente intendevo "non sono sicura al 100%"

Sì, immaginavo
Il dominio è corretto, a parte qualche imprecisione e svista (hai invertito la dicitura delle rette e la retta \(y=1-x\) dovrebbe passare esattamente per \((0,1)\)). Per essere normale rispetto a \(x\) quell'insieme deve avere le ordinate comprese fra due funzioni, come diceva la definizione che ho dato prima. Partendo dall'intersezione tra le due rette e muovendoci verso le ascisse crescenti, la coordinata \(y\) deve star sotto la retta \(y=x\) e sopra \(y=1-x\). Tuttavia ad un certo punto, pur continuando a star sopra la retta \(y=1-x\), deve cominciare a star sotto l'arco di circonferenza. Allora spezzi in due tale area: nella prima parte si ha \(1-x\leqslant y\leqslant x\), nella seconda \(1-x\leqslant y\leqslant\sqrt{1-x^2}\). Dal momento che in ciascuna delle due parti la \(y\) è costretta fra due funzioni, esse sono normali rispetto all'asse \(x\). Essendo i tre punti d'intersezione cercati, nell'ordine, \(\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\), \(\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\) e \((1,0)\), il dominio \(D\) si rende normale rispetto alle ascisse imponendo \(D=A\cup B\), con \(A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:{}^1\!/\!_2\leqslant x\leqslant{}^1\!/\!_\sqrt{2},\>1-x\leqslant y\leqslant x\}\) e \(B=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:{}^1\!/\!_\sqrt{2}\leqslant x\leqslant1,\>1-x\leqslant y\leqslant\sqrt{1-x^2}\}\). Avresti potuto fare la stessa cosa secondo le ordinate, avendo questa volta come estremo superiore l'arco di circonferenza per ambedue le parti e come estremo inferiore nella prima parte una retta e nella seconda parte l'altra.

[SaraPone]

"seb":Il dominio è corretto, a parte qualche imprecisione e svista (hai invertito la dicitura delle rette e la retta y=1−x dovrebbe passare esattamente per (0,1)).

Ah sì, distrazioni!

"seb":Allora spezzi in due tale area: nella prima parte si ha 1−x⩽y⩽x, nella seconda 1−x⩽y⩽1−x2−−−−−√

Ok, quindi "spezzo" in verticale, cioè parallelamente all'asse \(\displaystyle y \)?

Finalmente ho capito! Ho visto diversi svolgimenti spiegati, anche piuttosto passo passo, ma arrivata a questo punto non riuscivo mai a capire. Grazie! *-*

Ora, per testare la mia comprensione, vediamo se so farlo rispetto alla \(\displaystyle y \)

\(\displaystyle A = \{ 0 \leqslant y \leqslant \frac{1}{2},\>1-y \leqslant x \leqslant \sqrt{1-y^2}\}\)
\(\displaystyle B = \{ \frac{1}{2} \leqslant y \leqslant \frac{1}{\sqrt{2}},\>y \leqslant x \leqslant \sqrt{1-y^2}\} \)

[seb1]

Benissimo

[SaraPone]

Grazie mille, non immagini quanto il tuo aiuto sia stato prezioso