Dominio di funzioni integrali

[Pierlu11]

Spero che qualcuno possa chiarire questo dubbio sulle funzioni integrali:
Se la funzione integranda è definita a partire da un valore (esempio stupido $ F(x)=int_(2)^(x) logt dt $ ) posso dire che il dominio della funzione integrale non comprende i valori che lo precedono (nel caso dell'esempio $ D_Fsube (0;+infty) $ )... ma così sto dicendo che se non è definita la derivata non è definita nemmeno la funzione...
Posso sempre fare questa considerazione perché i casi in cui funzioni con derivata non definita in infiniti punti ma definita in quei punti possono solo essere costruite a dovere e non usciranno mai da composizioni di funzioni elementari?
(Non so se mi sono spiegato bene...)

[s.stuv]

Ovviamente, non puoi integrare una funzione su di un insieme ove essa non è ben definita. Se lavoriamo con l'integrale di Riemann, allora usualmente si assume che l'integranda \( f \) sia definita in un intervallo chiuso e limitato \( [a,b] \), e che sia ivi limitata. La continuità non è indispensabile, e anzi sotto le ipotesi suddette si ha che \( f \) è R-integrabile se e solo se l'insieme dei suoi punti di discontinuità ha misura nulla (secondo Lebesgue). Se, invece, l'insieme di integrazione fosse un intervallo semi-aperto, diciamo \( (a,b] \) e l'integranda non fosse definita in \( a \), l'integrale esteso ad \( [a,b] \) è finito se facciamo l'ipotesi che \( f \) sia R-integrabile in ogni compatto \( [a+\varepsilon, b] \) (\( \varepsilon > 0 \)) e che esista finito il limite
\[
\lim_{\varepsilon \to 0} \int_{a+\varepsilon}^{b} f(t) \, dt.
\]
Questo è l'integrale generalizzato (o improprio) di Riemann. Nel tuo caso specifico, la funzione integrale è ben definita in \( [0, + \infty) \), con \( 0 \) incluso. Elementarmente parlando, vedi bene che una generica primitiva del logaritmo \( F(x) = x(\log x -1) + C \), definita in \( (0,+\infty) \), può essere invero prolungata per continuità in \( x = 0 \).