Dominio di funzioni a due variabili
Dovendo studiare delle forme differenziali, mi trovo a dover calcolare il dominio al principio dell'esercizio.
Spesso risulta semplice, altre volte meno. Non ho ancora acquisito la padronanza necessaria per calcolare i domini con sicurezza. Vi pongo l'esercizio che devo fare:
$(e^x)/y - (e^y)/(x^2)$
Ora, posso porre $yx^2 != 0$ ? Oppure i due denominatori devo studiarli separatamente ?
Il dominio è semplicemente $RR^2$ eccetto $x = 0$ e $y = 0$ ?
Vi ringrazio per le risposte future.
Spesso risulta semplice, altre volte meno. Non ho ancora acquisito la padronanza necessaria per calcolare i domini con sicurezza. Vi pongo l'esercizio che devo fare:
$(e^x)/y - (e^y)/(x^2)$
Ora, posso porre $yx^2 != 0$ ? Oppure i due denominatori devo studiarli separatamente ?
Il dominio è semplicemente $RR^2$ eccetto $x = 0$ e $y = 0$ ?
Vi ringrazio per le risposte future.
Risposte
Che tu ponga $yx^2\ne 0$ o che tu studi i due denominatori separatamente, il risultato non cambia: ottieni sempre $x\ne0$ e $y\ne 0$. In pratica per qualunque punto $(x,y)\in \mathbb{R}^2$ che non stia sugli assi cartesiani (dunque $x\ne 0$ e $y\ne 0$) l'espressione
$\frac{e^x}{y}-\frac{e^y}{x^2}$
ha senso.
$\frac{e^x}{y}-\frac{e^y}{x^2}$
ha senso.
Giusto, però sarebbe meglio studiarli separatamente (a parte il fatto che è più facile); sia mai che ti capiti qualcosa del genere $a/(1/x)+b/x$ e ne concludi che il dominio è tutto $RR$ ... 
Ah ottimo, grazie mille.
Caso un po' più difficle:
$1/(sqrt(1-xy^2))$
Suppongo sia un sistema del genere:
${(sqrt(1-xy^2) != 0),(1-xy^2 >= 0):}$
Ma non so proseguire sinceramente.
Caso un po' più difficle:
$1/(sqrt(1-xy^2))$
Suppongo sia un sistema del genere:
${(sqrt(1-xy^2) != 0),(1-xy^2 >= 0):}$
Ma non so proseguire sinceramente.
Corretto il sistema ma basta questa $1-xy^2>0$
Proseguendo si ha che $1>xy^2\ \ =>\ \ 1/y^2>x$
Proseguendo si ha che $1>xy^2\ \ =>\ \ 1/y^2>x$
Pensala così; se dovessi definire il dominio di $f(x)=1/sqrt(1-x)$, faresti il sistema:
${(sqrt(1-x)!=0),(1-x>0):}$
(tra l'altro $>$, non certo $>=$, visto che non vuoi che si annulli) o scriveresti un'altra cosa? Insomma, pensa cosa comporta il porre maggiore di zero il termine sotto radice.
${(sqrt(1-x)!=0),(1-x>0):}$
(tra l'altro $>$, non certo $>=$, visto che non vuoi che si annulli) o scriveresti un'altra cosa? Insomma, pensa cosa comporta il porre maggiore di zero il termine sotto radice.
Si giusto, alla fine si limita tutto a $1 - xy^2 > 0$.
Ma ciò che non ho capito è, una volta ottenuto il valore $1/y^2 > x$, come lo scrivo il dominio ? Oppure devo capire che grafico ha questa funzione e da qui definire il dominio ?
Un altro caso è questo:
$1/sqrt((x-1)^2 + y^2)$
Ho semplicemente posto $(x-1)^2 + y^2 > 0$, cioè $(x-1)^2 > - y^2$.
Ora, considerando che abbiamo un quadrato maggiore di un valore negativo, io suppongo che il dominio in tal caso sia tutto $RR^2$ perchè il quadrato è sempre positivo. O sbaglio ?
Ma ciò che non ho capito è, una volta ottenuto il valore $1/y^2 > x$, come lo scrivo il dominio ? Oppure devo capire che grafico ha questa funzione e da qui definire il dominio ?
Un altro caso è questo:
$1/sqrt((x-1)^2 + y^2)$
Ho semplicemente posto $(x-1)^2 + y^2 > 0$, cioè $(x-1)^2 > - y^2$.
Ora, considerando che abbiamo un quadrato maggiore di un valore negativo, io suppongo che il dominio in tal caso sia tutto $RR^2$ perchè il quadrato è sempre positivo. O sbaglio ?
Beh, ci sarebbe un punto che non sta nel dominio ... 
Non ho idea di come si scriva il dominio però penso che sia sufficiente una cosa così ...
$D={(x,y) in RR^2:1/y^2>x}$
Non ho idea di come si scriva il dominio però penso che sia sufficiente una cosa così ...
$D={(x,y) in RR^2:1/y^2>x}$
Il punto che non appartiene al dominio è ovviamente $(1, 0)$, giusto ?
Sì, e quindi il dominio NON è tutto $RR^2$ ...
"Mr.Mazzarr":
Si giusto, alla fine si limita tutto a $ 1 - xy^2 > 0 $.
Ma ciò che non ho capito è, una volta ottenuto il valore $ 1/y^2 > x $, come lo scrivo il dominio ? Oppure devo capire che grafico ha questa funzione e da qui definire il dominio ?
si può anche visualizzare l'insieme dei punti soluzione di $1-xy^2>0$
sicuramente la disequazione è verificata da tutti i punti del semipiano $xleq0$
per$ x >0$,la disequazione equivale a $y^2<1/x$ ed verificata da tutti i punti compresi tra le curve di equazione $y=-1/sqrtx$ e $y=1/sqrtx$,curve escluse
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