Dominio di funzione integrale
Ciao ragazzi. Poco fa stavo studiando una funzione integrale di questo tipo:
$f(x) = \int_0^x sqrt(arctan ((t+2)/t))dt$
Ho cominciato quindi con lo studio del dominio, ma ho qualche dubbio.
Secondo voi, la funzione integranda $f(t)$ ha dominio $[0,+\infty)$ ?
Sono arrivato a questa espressione considerando prima il campo di esistenza della radice,quindi $arctan ((t+2)/t) >= 0$, e poi quello dell'arcotangente, che è definita in $RR$. Di conseguenza, ho dedotto che devo considerare solo la parte positiva della funzione, affinchè non vado contro il c.e. della radice. Il mio ragionamento è esatto?
Idem per la funzione integrale $f(x)$. Anche qui mi sembra di aver commesso errori. Ho provato che la funzione integrale è sommabile in $0$, quindi $0$ è incluso nel dominio. Il dominio della funzione integrale è lo stesso della funzione integranda? Ho inserito la funzione nel Derive, ma il programma mi include pure la parte negativa delle ascisse. Cosa ho sbagliato?
Grazie, ciao.
$f(x) = \int_0^x sqrt(arctan ((t+2)/t))dt$
Ho cominciato quindi con lo studio del dominio, ma ho qualche dubbio.
Secondo voi, la funzione integranda $f(t)$ ha dominio $[0,+\infty)$ ?
Sono arrivato a questa espressione considerando prima il campo di esistenza della radice,quindi $arctan ((t+2)/t) >= 0$, e poi quello dell'arcotangente, che è definita in $RR$. Di conseguenza, ho dedotto che devo considerare solo la parte positiva della funzione, affinchè non vado contro il c.e. della radice. Il mio ragionamento è esatto?
Idem per la funzione integrale $f(x)$. Anche qui mi sembra di aver commesso errori. Ho provato che la funzione integrale è sommabile in $0$, quindi $0$ è incluso nel dominio. Il dominio della funzione integrale è lo stesso della funzione integranda? Ho inserito la funzione nel Derive, ma il programma mi include pure la parte negativa delle ascisse. Cosa ho sbagliato?
Grazie, ciao.
Risposte
Ciao!
Allora, nel calcolare il dominio della funzione integranda hai dimenticato innnanzitutto di escludere lo $0$, valore per il quale non è definita l'espressione $(t+2)/t$. Secondo me è sbagliata anche la condizione di positività di $arctan((t+2)/t)$, infatti esso è positivo per $(t+2)/t>0$.
Il dominio della funzione integrale secondo me è $[0,+oo)$ ma ora controllo anch'io con derive.
Ciao!
Allora, nel calcolare il dominio della funzione integranda hai dimenticato innnanzitutto di escludere lo $0$, valore per il quale non è definita l'espressione $(t+2)/t$. Secondo me è sbagliata anche la condizione di positività di $arctan((t+2)/t)$, infatti esso è positivo per $(t+2)/t>0$.
Il dominio della funzione integrale secondo me è $[0,+oo)$ ma ora controllo anch'io con derive.
Ciao!
La funzione $\sqrt(arctan((t+2)/t))$ è definita in $]-oo,-2]\cup ]0,+oo[$ epperò può essere prolungata per continuità da destra su $0$, cosicché l'integrando è definito in $D:=]-oo,-2]\cup [0,+oo[$ ed ivi continuo.
La funzione integrale $f$ ha punto iniziale $0$, quindi è definita nel più grande intervallo contenuto in $D$ che abbia $0$ tra i suoi punti: pertanto l'insieme di definizione della funzione integranda è $I:=[0,+oo[$.
La funzione integrale $f$ ha punto iniziale $0$, quindi è definita nel più grande intervallo contenuto in $D$ che abbia $0$ tra i suoi punti: pertanto l'insieme di definizione della funzione integranda è $I:=[0,+oo[$.
Grazie a tutti e due per le risposte. A questo punto direi di aver sbagliato solo il domino dell'integranda, perchè non ho considerato bene l'argomento di arctan.
@ delca85: Grazie per la precisazione. Il grafico della funzione è solo nel primo quadrante. Una retta che va verso $+\infty$. Ti risulta?
@ Gugo82: Non sapevo ci fosse questa regola dietro il calcolo del dominio della funzione integranda, cioè considerando il punto iniziale della funzione, essa sarà definita nell'intervallo più grande del dominio della $f(t)$ che abbia il punto iniziale tra i suoi punti. Io normalmente verifico sempre i punti della $f(t)$ per cui la funzione integrale è sommabile. Usando la tua regola calcolare il dominio della f(x) è decisamente più semplice. La regola da te descritta la si può usare sempre?
Un'ultima domanda. La derivata seconda, cioè $1/(t^2*(1+((t+2)/t)^2)*(sqrt(arctan((t+2)/t))))$ è sempre positiva per il dominio della funzione integrale, giusto? Lo sto dicendo considerando i quadrati e la radice che deve essere positiva per esistere, secondo le affermazioni precedenti.
@ delca85: Grazie per la precisazione. Il grafico della funzione è solo nel primo quadrante. Una retta che va verso $+\infty$. Ti risulta?
@ Gugo82: Non sapevo ci fosse questa regola dietro il calcolo del dominio della funzione integranda, cioè considerando il punto iniziale della funzione, essa sarà definita nell'intervallo più grande del dominio della $f(t)$ che abbia il punto iniziale tra i suoi punti. Io normalmente verifico sempre i punti della $f(t)$ per cui la funzione integrale è sommabile. Usando la tua regola calcolare il dominio della f(x) è decisamente più semplice. La regola da te descritta la si può usare sempre?
Un'ultima domanda. La derivata seconda, cioè $1/(t^2*(1+((t+2)/t)^2)*(sqrt(arctan((t+2)/t))))$ è sempre positiva per il dominio della funzione integrale, giusto? Lo sto dicendo considerando i quadrati e la radice che deve essere positiva per esistere, secondo le affermazioni precedenti.
Scusa, il grafico della funzione integrale o di quella integranda?
Il grafico della funzione integrale. L'ho appena verificato.
"Albertus16":
@ Gugo82: Non sapevo ci fosse questa regola dietro il calcolo del dominio della funzione integranda, cioè considerando il punto iniziale della funzione, essa sarà definita nell'intervallo più grande del dominio della $f(t)$ che abbia il punto iniziale tra i suoi punti. Io normalmente verifico sempre i punti della $f(t)$ per cui la funzione integrale è sommabile. Usando la tua regola calcolare il dominio della f(x) è decisamente più semplice. La regola da te descritta la si può usare sempre?
Vediamo... dipende dai casi.
Ti porto degli esempi.
Supponi che l'integrando $phi$ sia definito e continuo in un insieme non connesso del tipo $D:=]-oo,a]\cup [b,+oo[$, con $a
Più in generale, se $D$ è unione di intervalli chiusi disgiunti, allora l'insieme di definizione della funzione integrale $f(x):=\int_c^x phi(t)" d"t$ coincide sempre con il più grande intervallo di $D$ contenente il punto iniziale $c$.
Supponi, invece, che l'integrando $phi$ sia definito e continuo in $D:=RR\setminus \{a\}=]-oo,a[\cup]a,+oo[$, che $phi$ abbia in $a$ una discontinuità di seconda specie (cosicché almeno uno tra $lim_(x\to a^-) phi(x)$ e $lim_(x\to a^+) phi(x)$ è infinito) e che tu voglia sapere l'insieme di definizione della funzione integrale $f(x):=\int_c^x phi(t)" d"t$, con $c\in D$.
In questo caso l'integrale $\int_c^x phi(t)" d"t$ può aver senso anche se $a$ cade tra $c$ ed $x$ o quando $x=a$: infatti ciò accade quando la funzione $phi$ è impropriamente integrabile a destra e/o a sinistra di $a$.
Se $phi$ è integrabile a sinistra e a destra di $a$, allora non ci sono problemi e l'insieme di definizione di $f$ è tutto $RR$.
Viceversa, supponiamo che $c>a$, che $phi$ sia integrabile (in senso improprio) a destra di $a$, ossia in ogni intervallo del tipo $[a,b]$ con $b>a$, e che non sia integrabile (in senso improprio) a sinistra di $a$, nel senso che l'integrale improprio $\int_d^a phi(t)" d"t$ non esiste finito per alcun $d
$f(x)=\int_c^xphi(t)" d"t=-\int_x^cphi(t)" d"t=-[\int_x^aphi(t)" d"t+f(a)] \quad => \quad \int_x^aphi(t)" d"t=f(a)-f(x)$
il che è assurdo dato che l'integrale $\int_x^aphi(t)" d"t$ non esiste finito. Ne consegue che in questo caso la $f$ è definita solo in $[a,+oo[$.
Ovviamente puoi anche immaginare altre situazioni.
Gugo82, grazie per la tua esauriente risposta. Mi hai colmato un pò di dubbi! 
Nel messaggio precedente ho inserito pure la derivata seconda della funzione integrale, ed ho scritto che dovrebbe essere sempre positiva. Il mio ragionamento è esatto?
Nel messaggio precedente ho inserito pure la derivata seconda della funzione integrale, ed ho scritto che dovrebbe essere sempre positiva. Il mio ragionamento è esatto?
Grande Gugo82!
Grazie anche da parte mia!
Grazie anche da parte mia!
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