Dominio di funzione a due variabili con ellissi
Ragazzi potreste aiutarmi nel determinare questo dominio?
$ sqrt((arcsin(3x^2+2y^2-3))/(xy)) $
Il risultato è dato da tre ellissi "una dentro l'altra" a mò di matrioska...Ma io mi chiedo..quella al denominatore non è l'equazione dell'iperbole equilatera? O la mancanza del coefficiente numerico in questo caso fa sì che non sia un'ellisse? Aiutatemi vi prego
(
$ sqrt((arcsin(3x^2+2y^2-3))/(xy)) $
Il risultato è dato da tre ellissi "una dentro l'altra" a mò di matrioska...Ma io mi chiedo..quella al denominatore non è l'equazione dell'iperbole equilatera? O la mancanza del coefficiente numerico in questo caso fa sì che non sia un'ellisse? Aiutatemi vi prego
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Risposte
Ma con le ellissi il denominatore c'entra poco e niente... Come hai svolto l'esercizio?
Mi sono reso conto di aver scritto la funzione in modo errato... La radice "abbraccia" tutta la frazione..perdonatemi 
Quindi il sistema è una cosa del tipo:
\[
\begin{cases}
\left. \begin{split} &3x^2+2y^2-3\geq -1\\
&3x^2+2y^2-3\leq 1\end{split}\right\} &\color{maroon}{\text{esistenza dell'arcoseno}}\\
3x^2+2y^2-3\geq 0 &\color{maroon}{\text{esistenza della radice}}\\
xy\neq 0 &\color{maroon}{\text{denominatore non nullo}}
\end{cases}
\]
ossia:
\[
\begin{cases}
3x^2+2y^2-3\leq 1\\
3x^2+2y^2-3\geq 0\\
xy\neq 0
\end{cases}
\]
(la prima disequazione è inutile, perché impone una condizione meno restrittiva della terza) dalla quale ricavi:
\[
\begin{cases}
3x^2+2y^2\leq 4\\
3x^2+2y^2\geq 3\\
x\neq 0\text{ opp. } y\neq 0\; .
\end{cases}
\]
Com'è fatto il dominio individuato dalle limitazioni scritte qui sopra?
\[
\begin{cases}
\left. \begin{split} &3x^2+2y^2-3\geq -1\\
&3x^2+2y^2-3\leq 1\end{split}\right\} &\color{maroon}{\text{esistenza dell'arcoseno}}\\
3x^2+2y^2-3\geq 0 &\color{maroon}{\text{esistenza della radice}}\\
xy\neq 0 &\color{maroon}{\text{denominatore non nullo}}
\end{cases}
\]
ossia:
\[
\begin{cases}
3x^2+2y^2-3\leq 1\\
3x^2+2y^2-3\geq 0\\
xy\neq 0
\end{cases}
\]
(la prima disequazione è inutile, perché impone una condizione meno restrittiva della terza) dalla quale ricavi:
\[
\begin{cases}
3x^2+2y^2\leq 4\\
3x^2+2y^2\geq 3\\
x\neq 0\text{ opp. } y\neq 0\; .
\end{cases}
\]
Com'è fatto il dominio individuato dalle limitazioni scritte qui sopra?
Scusami, ma ho sbagliato a scrivere la funzione (la matematica mi sta dando alla testa xD)...non è solo il numeratore ad essere sotto radice ma l'intera frazione...Scusatemi ancora
-.-"
Quindi il sistema da risolvere è?
Quindi il sistema da risolvere è?
Lo so che ti sto seccando come mai in vita tua xD
Comunque il sistema è:
$ arcsin(3x^2+2y^2-3)>=0 $
$ xy>0 $
$ 3x^2+2y^2-3>=-1 $
$ 3x^2+2y^2-3<=1 $
Unito al secondo sistema che è il seguente:
$ arcsin(3x^2+2y^2-3)<=0 $
$ xy<0 $
$ 3x^2+2y^2-3>=-1 $
$ 3x^2+2y^2-3<=1 $
Arrivato a questo punto come si procede? E scusami ancora per il fastidio
Comunque il sistema è:
$ arcsin(3x^2+2y^2-3)>=0 $
$ xy>0 $
$ 3x^2+2y^2-3>=-1 $
$ 3x^2+2y^2-3<=1 $
Unito al secondo sistema che è il seguente:
$ arcsin(3x^2+2y^2-3)<=0 $
$ xy<0 $
$ 3x^2+2y^2-3>=-1 $
$ 3x^2+2y^2-3<=1 $
Arrivato a questo punto come si procede? E scusami ancora per il fastidio
Allora...
Il sistema che individua il dominio è:
\[
\begin{cases} \left. \begin{split} &3x^2+2y^2-3\geq -1\\ &3x^2+2y^2-3\leq 1\end{split}\right\} &\color{maroon}{\text{esistenza dell'arcoseno}}\\ xy\neq 0 &\color{maroon}{\text{denominatore non nullo}}\\ \frac{\arcsin(3x^2+2y^2-3)}{xy}\geq 0 &\color{maroon}{\text{esistenza della radice}} \end{cases}
\]
che equivale a:
\[
\begin{cases}
3x^2+2y^2\geq 2\\
3x^2+2y^2\leq 4\\
x\neq 0 \text{ oppure } y\neq 0\\
\frac{\arcsin(3x^2+2y^2-3)}{xy}\geq 0\; .
\end{cases}
\]
Le prime due disuguaglianze ti dicono che i punti del dominio sono compresi tra due ellissi centrate nell'origine (quali?), mentre le terze relazioni ti dicono che il tuo dominio non contiene punti degli assi.
L'ultima disuguaglianza è l'unica su cui lavorare un po' e, come hai detto, essa equivale all'unione dei due sistemi:
\[
\begin{cases}
3x^2+2y^2 \geq 3\\
xy\geq 0
\end{cases}\qquad \text{e}\qquad \begin{cases}
3x^2+2y^2 \leq 3\\
xy\leq 0\; ;
\end{cases}
\]
tenendo presente che le limitazioni \(xy\geq 0\) e \(xy\leq 0\) individuano, rispettivamente, i punti del primo e terzo quadrante e del secondo e quarto quadrante (perché?), il primo sistema ti individua i punti esterni ad un'ellisse centrata nell'origine (quale?) appartenenti al primo od al terzo quadrante, mentre il secondo sistema individua i punti interni alla stessa ellisse appartenenti al secondo od al quarto quadrante.
Messe su un grafico tutte queste informazioni, non è difficile stabilire com'è fatto il dominio della tua funzione.
P.S.: Non mi stai affatto seccando, altrimenti non ti risponderei proprio (non c'è obbligo di risposta).
Solo, la prossima volta, ti consiglio vivamente di leggere questo avviso prima di posta e di regolarti di conseguenza.
Il sistema che individua il dominio è:
\[
\begin{cases} \left. \begin{split} &3x^2+2y^2-3\geq -1\\ &3x^2+2y^2-3\leq 1\end{split}\right\} &\color{maroon}{\text{esistenza dell'arcoseno}}\\ xy\neq 0 &\color{maroon}{\text{denominatore non nullo}}\\ \frac{\arcsin(3x^2+2y^2-3)}{xy}\geq 0 &\color{maroon}{\text{esistenza della radice}} \end{cases}
\]
che equivale a:
\[
\begin{cases}
3x^2+2y^2\geq 2\\
3x^2+2y^2\leq 4\\
x\neq 0 \text{ oppure } y\neq 0\\
\frac{\arcsin(3x^2+2y^2-3)}{xy}\geq 0\; .
\end{cases}
\]
Le prime due disuguaglianze ti dicono che i punti del dominio sono compresi tra due ellissi centrate nell'origine (quali?), mentre le terze relazioni ti dicono che il tuo dominio non contiene punti degli assi.
L'ultima disuguaglianza è l'unica su cui lavorare un po' e, come hai detto, essa equivale all'unione dei due sistemi:
\[
\begin{cases}
3x^2+2y^2 \geq 3\\
xy\geq 0
\end{cases}\qquad \text{e}\qquad \begin{cases}
3x^2+2y^2 \leq 3\\
xy\leq 0\; ;
\end{cases}
\]
tenendo presente che le limitazioni \(xy\geq 0\) e \(xy\leq 0\) individuano, rispettivamente, i punti del primo e terzo quadrante e del secondo e quarto quadrante (perché?), il primo sistema ti individua i punti esterni ad un'ellisse centrata nell'origine (quale?) appartenenti al primo od al terzo quadrante, mentre il secondo sistema individua i punti interni alla stessa ellisse appartenenti al secondo od al quarto quadrante.
Messe su un grafico tutte queste informazioni, non è difficile stabilire com'è fatto il dominio della tua funzione.
P.S.: Non mi stai affatto seccando, altrimenti non ti risponderei proprio (non c'è obbligo di risposta).
Solo, la prossima volta, ti consiglio vivamente di leggere questo avviso prima di posta e di regolarti di conseguenza.
Ti ringrazio, mi sei stato utilissimo 
perdonami sono ancora un novizio su questo forum
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