Dominio di funzione a due variabili

[periplo1]

la funzione è questa
z= squrt[x^(2y) - xy^2]

sono ore che tento una risoluzione, ponendo tutto ciò che è al di sotto della radice maggiore o uguale di zero, ma non capisco in che modo procedere... potete darmi consigli?

[ciampax]

Ma la funzione è questa [tex]$z=\sqrt{x^{2y}-x y^2}$[/tex] oppure questa [tex]$z=\sqrt{x^2 y-x y^2}$[/tex]?

[periplo1]

"ciampax":Ma la funzione è questa [tex]$z=\sqrt{x^{2y}-x y^2}$[/tex] oppure questa [tex]$z=\sqrt{x^2 y-x y^2}$[/tex]?

è la prima

[periplo1]

fosse stata la seconda avrei saputo farlo, mettendo xy in evidenza... ma nel mio caso, non so nemmeno da cosa cominciare...

[ciampax]

Ed in effetti è una brutta bestiolina! Vediamo, per prima cosa scriviamo le condizioni di esistenza: deve essere

[tex]$x^{2y}-xy^2\ge 0,\ x>0$[/tex] (a causa dell'esponenziale).

Tenendo conto della seconda condizione puoi scrivere, passando agli esponenziali

[tex]$e^{2y\log x}-e^{\log x+\log y^2}\ge 0\ \Rightarrow\ e^{2y\log x}\ge e^{\log x+\log y^2}$[/tex]

da cui [tex]$2y\log x\ge \log x+\log y^2$[/tex] e quindi [tex]$(2y-1)\log x\ge \log y^2$[/tex]. Da questa ottieni le due condizioni

[tex]$\left\{\begin{array}{l}
2y-1\ge 0\\ \log x\ge \log y^{2/(2y-1)}
\end{array}\right.\qquad \left\{\begin{array}{l}
2y-1<0\\ \log x\le \log y^{2/(2y-1)}
\end{array}\right.$[/tex]

e quindi

[tex]$\left\{\begin{array}{l}
2y-1\ge 0\\ x\ge y^{2/(2y-1)}
\end{array}\right.\qquad \left\{\begin{array}{l}
2y-1<0\\ x\le y^{2/(2y-1)}
\end{array}\right.$[/tex]

A questo punto basta studiare la funzione [tex]$x=y^{2/(2y-1)}=e^{\frac{2\log y}{2y-1}}$[/tex], farne il grafico e prendere i pezzi giusti del dominio in base alle condizioni.

[periplo1]

o buon... ecco perchè non sapevo che pesci pigliare!
grazie per l'aiuto ciampax!