Dominio di funzione

[Andrea902]

Buongiorno a tutti!

Devo determinare il dominio di esistenza della funzione:
$f(x)=log(text{inf}_(ninNN) {((x+1)^(2n)-1)/(x-2)}).$

Saprei come comportarmi in una situazione del tipo: $text{inf}_(ninNN) A^n$, ma nel caso prima proposto non so come tenere conto di tale proprietà (ammesso che sia utile).

Potreste darmi qualche suggerimento?

Andrea

[Rigel1]

Indichiamo con $f_n(x)$ il termine fra parentesi graffe, definito per $x\ne 2$.
Se per te $0\in NN$, hai che $"inf"_n f_n(x) \le f_0(x) = 0$, e quindi il dominio della funzione è vuoto.
Viceversa, mi sa che ci vuole un po' di lavoro in più.

[Andrea902]

Perchè risulta: $text{inf}_nf_n(x)<=f_0(x)=0$? In particolare, perchè hai messo il segno di disuguaglianza $<=$?

[Andrea902]

Ho appena trovato la proprietà: $text{inf} (log (((x+1)^(2n)-1)/(x-2)))=log (text{inf}(((x+1)^(2n)-1)/(x-2)))$; può essere utile secondo voi?

[Rigel1]

La disuguaglianza che ti ho scritto discende dal fatto che l'estremo inferiore di un insieme è sempre $\le$ di ogni elemento dell'insieme stesso.

L'uguaglianza da te riportata è valida solo quando $"inf"_n f_n(x) > 0$, altrimenti non ha senso.
(Può essere eventualmente estesa al caso in cui $"inf"_n f_n(x) = 0$ con $f_n(x) > 0$ per ogni $n$.)

[Andrea902]

Certo. Mi sono chiare entrambe le precisazioni di Rigel.
Resta, comunque, il problema di risoluzione. Qual è l'idea da seguire per la determinazione del dominio della funzione proposta? Non ho mai trovato esercizi del genere e desidererei comprenderne il ragionamento di fondo.
Istintivamente scriverei, per l'esistenza del logaritmo:
$text{inf}_n(((x+1)^(2n)-1)/(x-2))>0$, ma poi come posso procedere?

Vi ringrazio ancora per le risposte.

[Rigel1]

Come ti ho già detto, se per te $0\in NN$ il dominio è vuoto, visto che $"inf"_n f_n(x) \le 0$ per ogni $x\ne 2$.

Se invece i naturali partono da $1$, osserva che la successione $(1+x)^{2n}$ è monotona crescente (e diverge a $+\infty$) se $|1+x|>1$, è costantemente uguale a $1$ se $|1+x| = 1$, ed è monotona decrescente, convergente a $0$, se $|1+x| < 1$.

Visto anche il denominatore $x-2$, ti conviene distinguere i casi
1) $x>2$: l'estremo inferiore è raggiunto per $n=1$, dunque vale $\frac{(x+1)^2-1}{x-2}$. Adesso devi vedere quando questa quantità è positiva nella semiretta $(2, +\infty)$.
2) $0< x < 2$: in questo caso il denominatore è negativo, la successione $(1+x)^{2n}$ è monotona crescente e diverge a $+\infty$, quindi la successione numerica $f_n(x)$ è monotona decrescente e diverge a $-\infty$. Questi punti non stanno nel dominio che cerchi.
3) $x=0$ oppure $x=-2$: $f_n(0) = f_n(-2) = 0$ per ogni $n$, quindi anche questi punti non stanno nel dominio.

Buon proseguimento con gli altri casi:
4) $-2 < x < 0$: ...
5) $x < -2$: ...

[misanino]

"Andrea90":Certo. Mi sono chiare entrambe le precisazioni di Rigel.
Resta, comunque, il problema di risoluzione. Qual è l'idea da seguire per la determinazione del dominio della funzione proposta? Non ho mai trovato esercizi del genere e desidererei comprenderne il ragionamento di fondo.
Istintivamente scriverei, per l'esistenza del logaritmo:
$text{inf}_n(((x+1)^(2n)-1)/(x-2))>0$, ma poi come posso procedere?

Vi ringrazio ancora per le risposte.

Ciò che dici è assolutamente corretto.
E' questo ciò che devi fare.

Per me $NN$ non contiene lo 0 e quindi considero ciò (se invece consideri che in $NN$ c'è anche lo 0 devi variare leggermente il ragionamento).

Come dici tu deve essere $text{inf}_n(((x+1)^(2n)-1)/(x-2))>0$ e quindi deve essere $((x+1)^(2n)-1)/(x-2)>0$ per ogni $n$.
Ora il denominatore è maggiore di 0 se $x>2$.
Per il numeratore se ho $|x+1|>=1$ cioè $x<=-2$ o $x>=0$ allora il numeratore è positivo per ogni n e quindi:
se $x<=-2$ o $0<=x<2$ allora il tutto è negativo e quindi questi valori non appartengono al dominio.
se $x>2$ allora numeratore e denominatore sono positivi, quindi il tutto è positivo per ogni n e quindi questi valori appartengono al dominio.

Resta da discutere il caso $-2 Per tali valori il denominatore è negativo.
Poi $-1<(x+1)<1$ e quindi $-1<(x+1)^(2n)<1$ e quindi il numeratore cioè $-2<(x+1)^(2n)-1<0$ e cioè è negativo.
Quindi il tutto è positivo e quindi anche $-2
Quindi il dominio è $-22$
Il tutto ovviamente a meno di miei errori di calcolo

[Andrea902]

Ok. Perfetto. Allora, proseguendo con gli altri due casi:
- Se $x<-2$ il denominatore è negativo, il numeratore diverge a $+oo$ e quindi tali punti non sono accettabili;
- Se $-20$.

Giusto?

Per esempio, nel secondo caso da me ora illustrato bisognerà poi fare il sistema fra la condizione $-2

Cita

Segnala

[Rigel1]

Sì.

[Andrea902]

Ottimo. Quindi se invece avessi considerato $0inNN$, avrei potuto subito concludere che il dominio era vuoto? Oppure avrei dovuto modificare il ragionamento svolto, come accennato da misanino?

[misanino]

"Andrea90":Ottimo. Quindi se invece avessi considerato $0inNN$, avrei potuto subito concludere che il dominio era vuoto? Oppure avrei dovuto modificare il ragionamento svolto, come accennato da misanino?

Dovevi modificare un po' il ragionamento.

Infatti:
il denominatore è positivo se $x-2>0$ cioè se $x>2$,
Se avviene ciò al numeratore per n=0 ottengo -1 cioè un numero negativo.
Quindi se $x>2$ $text{inf}_n(((x+1)^(2n)-1)/(x-2))<0$ e quindi tali valori di x non appartengono al dominio.

Se $|x+1|>1$ cioè $x<-2$ o $x>0$ e il denominatore è negativo cioè se $x<2$ e quindi se $x<-2$ o $x>2$ puoi rifare il ragionamento che ho fatto nel mio post precedente per questo stesso intervallo e hai che quindi tali valori non appartengono al dominio.

Infine se $|x+1|>1$ cioè $-2=1$ hai lo stesso ragionamento di prima e quindi ancora numeratore negativo e denominatore pure.
Perciò il tutto in ogni caso è maggiore di 0 e quindi $-2

Cita

Segnala

[Rigel1]

Ma $f_0(x) = 0$ per ogni $x\ne 2$, no?

[misanino]

"Rigel":Ma $f_0(x) = 0$ per ogni $x\ne 2$, no?

Ah sì, giusto. Hai ragione. Grazie.
Perciò l'inf vale sempre 0 e quindi anche $-2 Chiedo scusa.

[Andrea902]

Ok. Vi ringrazio! Tutto chiaro!

Andrea