Dominio di funzione

[galles90]

Buongiorno,

Determinare dominio della seguente funzione $f$ :

\(\displaystyle f(x)=\sqrt{\tfrac{1}{sinx}-2cosx} \)

1 \(\displaystyle \begin{cases} \tfrac{1}{sinx}-2cosx \ge 0 \\ sinx \ne 0 \end{cases} \) \(\displaystyle \iff\) \(\displaystyle \begin{cases} \tfrac{1-2sinxcosx}{sinx} \ge 0 \\ sinx \ne 0 \end{cases} \) \(\displaystyle \iff\) \(\displaystyle \begin{cases} \tfrac{1-sin2x}{sinx} \ge 0 \\ x_1 \ne \pi+2k\pi \cup x_2 \ne 2\pi+2k\pi , k\in\mathbb{Z} \end{cases} \)
si ha una disequazione frazionaria, per cui bisogna studiare il segno della funzione:
1.1 \(\displaystyle \begin{cases} N \ge 0 : 1-sin2x \ge 0 \\ D>0: sinx>0 \end{cases} \) \(\displaystyle \iff\) \(\displaystyle \begin{cases} N \ge 0 : 1\ge sin2x \\ D>0: sinx>0 \end{cases} \)\(\displaystyle \iff\) \(\displaystyle \begin{cases} N \ge 0 : \forall x\in\mathbb{R} \\ D>0: 2k\pi in definitiva il dominio di $f$, è :
\(\displaystyle dom_f=2k\pi è corretto lo svolgimento?
La mia incertezza è sulla condizione del numeratore !!

Cordiali saluti.

[orsoulx]

"galles90":La mia incertezza è sulla condizione del numeratore !!

Veramente qualche pasticcetto compare nel segno del denominatore: $ sin x>0 rightarrow 2k \pi < x <(2k+1) \pi $ con $ k\in ZZ $.
Il numeratore va bene. Fai attenzione però a quel che succede quando $ x=5/4 \pi + 2 k \pi $.
Edit: Corretto due volte per tornare alla versione originale.
Ciao

[galles90]

Ciao,
mi chiaro l'errore che ho commesso sul denominatore. Invece sul numeratore ho un dubbio, mi vuoi dire che il numeratore va bene \(\displaystyle \forall x \in \mathbb{R}-\tfrac{5\pi}{4} \)??

Cordiali saluti

[orsoulx]

Al contrario! La frazione è uguale a zero anche in $ x=5/4 \pi + 2k\pi $ dove il denominatore è negativo, ma il numeratore vale zero. [nominatore ]
Ciao

[orsoulx]

Scusami! Ho erroneamente indicato con $ 5/4 \pi +2k \ pi $ il caso da considerare con attenzione. In realtò è $ 7/4 \pi + 2k \pi $.
Ciao
Edit: ripensamento da demenza senile: Andava bene $ 5/4.. $

[galles90]

Ahahaha
ho corretto quell'errore !! non c'è più
comunque penso che sia \(\displaystyle \tfrac{\pi}{4} \) perché:

\(\displaystyle 1-sin2x=1-2sinxcosx \) sostituisco \(\displaystyle x=\tfrac{\pi}{4}\)cioè
\(\displaystyle 1-2sin\tfrac{\pi}{4}cos\tfrac{\pi}{4}=1-2((\tfrac{\sqrt{2}}{2})(\tfrac{\sqrt{2}}{2})=1-2((\tfrac{2}{4})=1-2(\tfrac{1}{2})=1-1=0 \).
Inoltre il \(\displaystyle sinx \) con \(\displaystyle x=\tfrac{\pi}{4} \) è maggiore di zero.

Invece con \(\displaystyle \tfrac{5\pi}{4} \)si ha:
\(\displaystyle 1-2sin\tfrac{5\pi}{4}cos\tfrac{5\pi}{4}=1-2((\tfrac{-\sqrt{2}}{2})(\tfrac{-\sqrt{2}}{2})=1-2((\tfrac{2}{4})=1-2(\tfrac{1}{2})=1-1=0 \),
però il \(\displaystyle sinx \) con \(\displaystyle x=\tfrac{5\pi}{4} \) risulta minore di zero.

cordiali saluti.

[orsoulx]

No. Il caso da aggiungere è $ 5/4 \pi $, perché $ \pi/4 $, che rende positivo il denominatore, appartiene già al dominio, al contrario di $ 5/4 \pi $.
Ciao

[galles90]

Ciao,
allora in definitiva si ha che il $dom_f= 2kpi

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[orsoulx]

Pignoleria: $ uu $ andrebbe sostituito con $ vv $
Ciao

[galles90]

ho cambiato
Grazie
A presto