Dominio di definizione di funzione di due variabili

[NGC5033]

Ho un dubbio riguardo questo esercizio:

Calcolare e disegnare il dominio di definizione di questa funzione:

$f(x,y)=log(1-2sin(x+y^2))$

Lo ho svolto in questo modo:

$1 - 2sin(x+y^2) > 0$

$sin(x+y^2) < 1/2$

Adesso, io ho capito che la funzione è definita se $x+y^2$ è nell'arco di circonferenza che va da $pi/6$ a $5/6pi$, ma non so esattamente qual'è la sintassi formale corretta per scrivere il dominio, a me verrebbe da pensare questo:

$5/6pi + 2kpi < x + y^2 < pi/6 + 2kpi, k$ $in$ $ZZ$

e il dominio lo scriverei così:

$D:{(x,y)$ $in$ $RR$ $, 5/6pi + 2kpi < x + y^2 < pi/6 + 2kpi, k$ $in$ $ZZ$ $}$

Tuttavia, rivedendo un esercizio svolto dall'esercitatrice un anno fa, il dominio viene spezzato in due, definendo prima l'arco che va da $0$ a $pi/6$, e poi quello che va da $5/6pi$ a $2pi$, quindi così:

$D:{(x,y)$ $in$ $RR$ $, 2kpi < x + y^2 < pi/6 + 2kpi, 5/6pi + 2kpi < x + y^2 < 2pi + 2kpi, k$ $in$ $ZZ$ $}$

Quale delle due forme è corretta? e perché?

Grazie.

[gugo82]

@NGC5033: Meglio se riprendi un testo di Matematica per le superiori e ripassi un po' le disequazioni trigonometriche.

[NGC5033]

"gugo82":@NGC5033: Meglio se riprendi un testo di Matematica per le superiori e ripassi un po' le disequazioni trigonometriche.

Uhm, ho sbagliato a scrivere, volevo dire che $x+y^2$ NON è definito nell'arco di circonferenza che va da $ pi/6 $ a $ 5/6pi $, i domini però non li ho sbagliati e intendevo scrivere proprio così.

Per il resto non ho idea di dove potrebbe esserci un errore, l'ultimo dominio poi è copiato tale e quale da un esercizio effettuato da un dottorando, quindi non saprei cosa cercare! potresti gentilmente dirmi dov'è che c'è un errore?

[gugo82]

"NGC5033":[quote="gugo82"]@NGC5033: Meglio se riprendi un testo di Matematica per le superiori e ripassi un po' le disequazioni trigonometriche.

Uhm, ho sbagliato a scrivere, volevo dire che $x+y^2$ NON è definito nell'arco di circonferenza che va da $ pi/6 $ a $ 5/6pi $, i domini però non li ho sbagliati e intendevo scrivere proprio così.

Per il resto non ho idea di dove potrebbe esserci un errore, l'ultimo dominio poi è copiato tale e quale da un esercizio effettuato da un dottorando, quindi non saprei cosa cercare! potresti gentilmente dirmi dov'è che c'è un errore?[/quote]
Beh, fin qui:

"NGC5033":Calcolare e disegnare il dominio di definizione di questa funzione:

$ f(x,y)=log(1-2sin(x+y^2)) $

Lo ho svolto in questo modo:

$ 1 - 2sin(x+y^2) > 0 $

$ sin(x+y^2) < 1/2 $

tutto OK, ma qui:

"NGC5033":Adesso, io ho capito che la funzione è definita se $ x+y^2 $ è nell'arco di circonferenza che va da $ pi/6 $ a $ 5/6pi $, ma non so esattamente qual'è la sintassi formale corretta per scrivere il dominio, a me verrebbe da pensare questo:

$ 5/6pi + 2kpi < x + y^2 < pi/6 + 2kpi, k $ $ in $ $ ZZ $

e il dominio lo scriverei così:

$ D:{(x,y) $ $ in $ $ RR $ $ , 5/6pi + 2kpi < x + y^2 < pi/6 + 2kpi, k $ $ in $ $ ZZ $ $ } $

è tutto sbagliato, il che mostra che non ricordi bene come si scrivono le soluzioni di disequazioni trigonometriche... Perciò sarebbe il caso che le andassi a riprendere su un libro, in modo da rispondere da solo alla domanda finale del tuo penultimo post, cioé:

"NGC5033":Quale delle due forme è corretta? e perché?

P.S.: Ovviamente, anche se non l'ho detto esplicitamente, la soluzione data dal tuo esercitatore è quella corretta... Anche se io non l'avrei scritta così (ma è una questione di gusti).

[Zero87]

"NGC5033":Tuttavia, rivedendo un esercizio svolto dall'esercitatrice un anno fa, il dominio viene spezzato in due, definendo prima l'arco che va da $0$ a $pi/6$, e poi quello che va da $5/6pi$ a $2pi$, quindi così:

$D:{(x,y)$ $in$ $RR$ $, 2kpi < x + y^2 < pi/6 + 2kpi, 5/6pi + 2kpi < x + y^2 < 2pi + 2kpi, k$ $in$ $ZZ$ $}$

Quale delle due forme è corretta? e perché?

Grazie.

E' corretta la seconda (quella che ho quotato e del tuo esercitatore): pensaci bene, scrivendo
$5/6pi + 2kpi < x + y^2 < pi/6 + 2kpi$ con $k\in \ZZ$
sostituisci, ad es., $k=0$ e hai un bel
$5/6 \pi < x+ y^2 < \pi/6$
che non è che ha molto senso (capita per qualsiasi $k$!).

L'inghippo sta nel fatto che, arrivati a $2\pi$ si "ricomincia" dallo zero e per questo si separano i due rami.

Tra l'altro, facendo l'anteprima, ho visto che ha risposto anche Gugo che saluto: credo che abbiamo detto cose complementari, perciò il mio intervento lo lascio.

PS. il nick NGC5033 è riferito a una particolare galassia/ammasso stellare famoso che mi sfugge?

[NGC5033]

"Zero87":[quote="NGC5033"]Tuttavia, rivedendo un esercizio svolto dall'esercitatrice un anno fa, il dominio viene spezzato in due, definendo prima l'arco che va da $0$ a $pi/6$, e poi quello che va da $5/6pi$ a $2pi$, quindi così:

$D:{(x,y)$ $in$ $RR$ $, 2kpi < x + y^2 < pi/6 + 2kpi, 5/6pi + 2kpi < x + y^2 < 2pi + 2kpi, k$ $in$ $ZZ$ $}$

Quale delle due forme è corretta? e perché?

Grazie.

E' corretta la seconda (quella che ho quotato e del tuo esercitatore): pensaci bene, scrivendo
$5/6pi + 2kpi < x + y^2 < pi/6 + 2kpi$ con $k\in \ZZ$
sostituisci, ad es., $k=0$ e hai un bel
$5/6 \pi < x+ y^2 < \pi/6$
che non è che ha molto senso (capita per qualsiasi $k$!).

L'inghippo sta nel fatto che, arrivati a $2\pi$ si "ricomincia" dallo zero e per questo si separano i due rami.

Tra l'altro, facendo l'anteprima, ho visto che ha risposto anche Gugo che saluto: credo che abbiamo detto cose complementari, perciò il mio intervento lo lascio.

PS. il nick NGC5033 è riferito a una particolare galassia/ammasso stellare famoso che mi sfugge? [/quote]

Grazie mille, mi serviva questo

NGC5033 è il nome di una galassia, scelto completamente random