Dominio di convergenza di una serie

[JeKO2]

Salve, mi rivolgo ancora una volta qua per un problema riguardante sempre la solita serie

L'esercizio chiede di determinare il dominio di convergenza della serie:

$ sum_(n=2)^infty 2^(n(x-3)) / (n^3(Tan(1/2^n) - Sen(1/2^n)))$

Ora ho provato a fare alcune prove, nel tentativo di ridurla ad una forma nota e calcorare il raggio di convergenza in modo da poter studiare il dominio,
applicando Taylor al denominatore ho trovato che:

$Tan x = x + 1/3 x^3 + (o)x$
$Sen x = x - 1/(3!) x^3 + (o)x$

Quindi

$ sum_(n=2)^infty 2^(n(x-3)) / (n^3((1/2^n + 1/3 (1/2^n)^3) - (1/2^n - 1/6 (1/2^n)^3 )))$
$ sum_(n=2)^infty 2^(n(x-3)) / (n^3((1/2^n + 1/3 (1/2^(3n))) - (1/2^n - 1/6 (1/2^(3n)) )))$
$ sum_(n=2)^infty 2^(n(x-3)) / (n^3((1/2^n + 1/3 (1/8^(n))) - (1/2^n - 1/6 (1/8^(n)) )))$
$ sum_(n=2)^infty 2^(n(x-3)) / (n^3((1/2^n + 1/24^(n)) - (1/2^n - 1/48^(n)) ))$
$ sum_(n=2)^infty 2^(n(x-3)) / (n^3(1/2^n + 1/24^(n) - 1/2^n + 1/48^(n) ))$
$ sum_(n=2)^infty 2^(n(x-3)) / (n^3(1/24^(n) + 1/48^(n) ))$
$ sum_(n=2)^infty 2^(n(x-3)) / (n^3((2+1)/48^(n) ))$
$ sum_(n=2)^infty 2^(n(x-3)) / (n^3((3)/48^(n) ))$
$ sum_(n=2)^infty 2^(n(x-3)) / ( (3n^3)/(48^(n) ))$

Diciamo che qui mi fermo... non vedo nulla che mi possa ricondurre ad una serie di potenze, anche perché svolgendo un altro po' di calcoli si riesce ad ottenere:

$ sum_(n=2)^infty (2^n * 48^n * 2^(x-3))/(3n^3)$

[JeKO2]

Rettifico quello che ho scritto sopra... che in gran parte sono una marea di cavolate.

$Tan x = x + 1/3 x^3 + (o)x$
$Sen x = x - 1/(3!) x^3 + (o)x$

Quindi

$ sum_(n=2)^infty 2^(n(x-3)) / (n^3((1/2^n + 1/3 (1/2^n)^3) - (1/2^n - 1/6 (1/2^n)^3 )))$

$ sum_(n=2)^infty 2^(nx-3n) / (n^3((1/2^n + 1/3 (1/2^(3n)) - (1/2^n - 1/6 (1/2^(3n)) )))$

$ sum_(n=2)^infty 2^(nx-3n) / (n^3 ( 1/3 1/2^(3n) - 1/6 1/2^(3n) ) )$

$ sum_(n=2)^infty (2^(nx) 2^(-3n)) / (n^3 ( 1/2^(3n)(1/3 - 1/6) ) )$

$ sum_(n=2)^infty (2^(nx) 2^(-3n)) / (n^3 ( 1/2^(3n)(1/6) ) )$

$ sum_(n=2)^infty (2^(nx) 2^(-3n)) / ( n^3/2^(3n) n^3/6 ) $

$ sum_(n=2)^infty 2^(nx) / ( (n^3/2^(3n)) (n^3/6) (2^(3n)) ) $

$ sum_(n=2)^infty 2^(nx) / ( (n^6 / 6 ) $

$ sum_(n=2)^infty 2^(nx) * 6 / (n^6) $

$ 6 * sum_(n=2)^infty 2^(nx) / (n^6) $

Che è sicuramente più umana e sicuramente è convergente per x = 0...

[Sk_Anonymous]

Dai miei calcoli la serie sembra convergere per x<0.Segui il procedimento.
Il termine generale $a_n$ puo' scriversi cosi':
$a_n=2^(nx)/n^3*((1//2^n))/(tan(1//2^n))*(1//2^n)^2/(1-cos(1//2^n))$
Applicando il criterio del rapporto e tenendo conto di alcuni limiti notevoli,si ha:
$lim_(n->oo)|a_(n+1)/a_n|=lim_(n->oo)|2^(x(n+1))/((n+1)^3)*n^3/2^(nx)|=2^x$
Pertanto per la convergenza deve essere:
$2^x<1->x<0$
Il dominio di convergenza e' dunque l'intervallo aperto $]-oo,0[$
Archimede

[ottusangolo]

Scusa ma non ho tempo di analizzare il problema, non dovrebbe essere necessario (?)sviluppare sinx e tangx
non dipendono solo da n ?
Non é una serie a termini positvi?
Ad occhio dovrebbe convergere per X<=3 ma forse ho detto una cavolata! Scusate.
Ciao
Sono stato preceduto ,intervento inutile, ti lascio in ottime mani.

[Sk_Anonymous]

Infatti!!
Archimede

[JeKO2]

"archimede":Dai miei calcoli la serie sembra convergere per x<0.Segui il procedimento.
Il termine generale $a_n$ puo' scriversi cosi':
$a_n=2^(nx)/n^3*((1//2^n))/(tan(1//2^n))*(1//2^n)^2/(1-cos(1//2^n))$
Applicando il criterio del rapporto e tenendo conto di alcuni limiti notevoli,si ha:
$lim_(n->oo)|a_(n+1)/a_n|=lim_(n->oo)|2^(x(n+1))/((n+1)^3)*n^3/2^(nx)|=2^x$
Pertanto per la convergenza deve essere:
$2^x<1->x<0$
Il dominio di convergenza e' dunque l'intervallo aperto $]-oo,0[$
Archimede

Ti odio profondamente... ci avevo pensato anche io a scomporro il numeratore a quel modo, ma ormai mi ero fissato che dovevo sviluppare tutto con taylor!
Non chiedetemi perché...

una sola domanda che è solo uno dei miei soliti problemi algebrici....

$a_n=2^(nx)/n^3*((1//2^n))/(tan(1//2^n))*(1//2^n)^2/(1-cos(1//2^n))$

Perché esce fuori quel coseno??

Ah, poi io nel dominio accluderei anche x=0

[Sk_Anonymous]

Per il coseno e' sufficiente sostituire a senx l'espressione equivalente tanx*cosx
e mettere in evidenza tanx
Per il caso x=0 forse hai ragione:si dovrebbe studiare la serie sostituendo ad x lo zero.
Per " l'odio profondo " ricambio cordialmente
Ciao.
Archie

[JeKO2]

Si... hai ragione sono una salsiccia...

$Tan x = (Sen x) / (cos x) $

$ (Sen x) / (cos x) * cos x = Sen x$

Si sono una salsiccia....

[ottusangolo]

Ciao Jeko,
scusa per la presunzione di aver voluto rispondere al volo. Ho fatto un erroraccio di calcolo!
Mai fare le cose a mente, specie se si va di fretta! Comunque si poteva vedere ad occhio o quasi, diciamo.
La serie converge per x<=0 .
Questo perchè ha lo stesso comportamento della serie i cui termini sono dati da
$a_n=(2^(n*x))/(n^3)$ e il cui comportamento è abbastanza noto ( converge per x<=0)
Questo perchè tg()-sin() ha influenza solo per il fattore (1/2)^3n ,
come si intuisce facilmente considerando che
[tg()-sin()] >[(1/2)^3n ]*[1/3]
[tg()-sin()] <[(1/2)^3n]*[ 1/3+L]

e minorando e maggiorando la nostra serie ,che é a termini positivi, di conseguenza.
Evitando quindi , almeno credo , la lunga seppur istruttiva disquisizione di Archimede,
Ottimo, ma senza esagerazioni, infatti!

[JeKO2]

"ottusangolo":Ciao Jeko,
scusa per la presunzione di aver voluto rispondere al volo. Ho fatto un erroraccio di calcolo!
Mai fare le cose a mente, specie se si va di fretta! Comunque si poteva vedere ad occhio o quasi, diciamo.
La serie converge per x<=0 .
Questo perchè ha lo stesso comportamento della serie i cui termini sono dati da
$a_n=(2^(n*x))/(n^3)$ e il cui comportamento è abbastanza noto ( converge per x<=0)
Questo perchè tg()-sin() ha influenza solo per il fattore (1/2)^3n ,
come si intuisce facilmente considerando che
[tg()-sin()] >[(1/2)^3n ]*[1/3]
[tg()-sin()] <[(1/2)^3n]*[ 1/3+L]

e minorando e maggiorando la nostra serie ,che é a termini positivi, di conseguenza.
Evitando quindi , almeno credo , la lunga seppur istruttiva disquisizione di Archimede,
Ottimo, ma senza esagerazioni, infatti!

Rileggendomi bene le dispense del mio professore effetivamente si è vero si poteva ragionare in questo modo, solo che non mi sembra molto intuitivo, almeno per ora... tra ieri sera e stamattina ho provato a fare una decina di esercizi e non tutti vengono subito, ci devo tornare sopra un paio di volte per "trovare" una via sensata alla mia risposta. Comunque grazie a tutti... veramente! Penso di esser quasi pronto per l'esamino di sabato... si ho gli esami il sabato ammatina

[ottusangolo]

O.K. jeko; e comunque meglio non fidarsi dell'occhio. Sviluppa pure tranquillamente facendo tutti i calcoli. Infatti il sottoscritto per la seconda volta si deve correggere!
Nel mio precedente post NON 1/3 MA 1/2.
IN BOCCA AL LUPO PER L'ESAME.