Dominio della funzione derivata
Salve a tutti,
ho svolto il seguente esercizio:
"Studiare il dominio della funzione
$$f(x)=\frac{\sin{\sqrt{x}}}{x^2-16}$$
e quello della sua derivata."
Il dominio della funzione è l'insieme
$$\mathbb{D}=\left\{x \in \mathbb{R}: x\ge 0 \land x\ne 4\right\}.$$
La derivata della funzione è
$$f'(x)=\frac{\cos{\sqrt{x}}(x^2-16)-\sin{\sqrt{x}}(2x)}{2\sqrt{x}(x^2-16)^2},$$
il cui dominio è
$$\left\{x \in \mathbb{R}: x>0 \land x\ne 4\right\}.$$
Mi chiedo dunque se nel punto $x=0$ occorra calcolare il limite del rapporto incrementale
$$\lim_{h->0^{+}}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}$$
e concludere quindi che il dominio della derivata è esattamente $\mathbb{D}$.
Grazie anticipatamente a chi risponderà!
ho svolto il seguente esercizio:
"Studiare il dominio della funzione
$$f(x)=\frac{\sin{\sqrt{x}}}{x^2-16}$$
e quello della sua derivata."
Il dominio della funzione è l'insieme
$$\mathbb{D}=\left\{x \in \mathbb{R}: x\ge 0 \land x\ne 4\right\}.$$
La derivata della funzione è
$$f'(x)=\frac{\cos{\sqrt{x}}(x^2-16)-\sin{\sqrt{x}}(2x)}{2\sqrt{x}(x^2-16)^2},$$
il cui dominio è
$$\left\{x \in \mathbb{R}: x>0 \land x\ne 4\right\}.$$
Mi chiedo dunque se nel punto $x=0$ occorra calcolare il limite del rapporto incrementale
$$\lim_{h->0^{+}}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}$$
e concludere quindi che il dominio della derivata è esattamente $\mathbb{D}$.
Grazie anticipatamente a chi risponderà!
Risposte
Beh, si, in effetti a rigore avresti dovuto, PRIMA di fare calcoli, dire che la funzione è derivabile di sicuro in \(\{x>0,\ x\ne 4\}\), e poi verificare con il rapporto incrementale cosa succede in \(x=0\). Questo ti avrebbe risparmiato il calcolo della derivata, tra l'altro, da nessuna parte ti si chiede di calcolarla, mi pare.
Grazie mille! E' vero, sono partito a testa bassa senza notare che da nessuna parte mi è richiesto il calcolo della derivata prima.
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