Dominio dell funzione derivata

[manlio1]

Ragazzi scusatemi, io fino ad ora ho sempre ritenuto che il dominio della derivata contenesse tutti e soli i punti in cui la funzione fosse derivabile.
In realtà se consideriamo la funzione:

$(x+1)arctg|y-x^(2)|$

i domini delle derivate parziali non contengono i punti per i quali $y-x^2=0$

Però entrambe le derivate parziale esistono nel punto (-1,1) (il quale soddisfa quella equazione) e valgono entrambe zero (applicando il limite del rapporto incrementale)

Quindi a questo punto chi sa dirmi perché il dominio della derivata non contiene tutti i punti in cui la funzione è derivabile??

[alexdr1]

"manlio":Ragazzi scusatemi, io fino ad ora ho sempre ritenuto che il dominio della derivata contenesse tutti e soli i punti in cui la funzione fosse derivabile.
In realtà se consideriamo la funzione:

$(x+1)arctg|y-x^(2)|$

i domini delle derivate parziali non contengono i punti per i quali $y-x^2=0$

Però entrambe le derivate parziale esistono nel punto (-1,1) (il quale soddisfa quella equazione) e valgono entrambe zero (applicando il limite del rapporto incrementale)

Quindi a questo punto chi sa dirmi perché il dominio della derivata non contiene tutti i punti in cui la funzione è derivabile??

Forse la mia risposta potrà essere insignificante, non so se può serviti in qualche modo o meno... Io ancora non ho lezioni di analisi II ma seguo quelle di analisi I. Quindi ancora non ho avuto a che fare con funzioni di più variabili.
Però non è vero che il dominio della derivata contiene tutti i punti in cui è derivabile, almeno così ho appreso ad analisi I.
Prima di usare le regole di derivazione dovresti escludere i punti in cui f potrebbe essere non derivabile, applichi le regole di derivazione per i punti non esclusi. Per i punti esclusi verifichi con il limite del rapporto incrementale se f è derivabile in quei punti o meno.
I punti che esclusi dalla derivata con le regole di derivazione sono i punti che: annullano l'argomento di un valore assoluto, di una radice, gli estremi del dominio quando e' presente l'arcseno ecc...

Esempio
f(x)=|x(x-1)|
Se x è diverso da 0 e 1 la f è sicuramente derivabile e si utilizzano le regole di derivazione per calcolare la derivata.
Se x=0 allora si procede con il limite del rapporto incrementale in 0 e in questo caso si ottiene che in x=0 non è derivabile.
Se x=1 si procedo allo stesso modo e anche qui è non derivabile.
Tuttavia può capitare che i punti che si escludono all'inizio usando le regole di derivazione, in realtà con il limite del rapporto incrementale si osserva che sono punti di derivabilità.

Altro esempio
f(x)=xarcsen|x-1|
Se x è diverso da 0 1 e 2 f sarà certamente derivabile e si utilizzano le regole di derivazione.
Se x=0 si fa il limite del rapporto incrementale e in questo caso in 2 la f è derivabile!
Se x=1 invece con il limite del rapporto incrementale la f risulta non derivabile in 1