Dominio con iperbole
Ciao,
dovrei rappresentare i punti del piano che soddisfano quanto segue:
$4x^2-y^2<1$
ora $4x^2-y^2=1$ la scrivo cosi
$x^2/(1/4)-y^2=1$ e mi diventa una iperbole con i fuochi sulle ascisse.
Facendo varie prove mi sembra che i punti interessati siano quelli che con ascissa e ordinata negativi, sbaglio??
Mentre per l'ellisse mi è facile capire, con l'iperbole non ci riesco.
Grazie
dovrei rappresentare i punti del piano che soddisfano quanto segue:
$4x^2-y^2<1$
ora $4x^2-y^2=1$ la scrivo cosi
$x^2/(1/4)-y^2=1$ e mi diventa una iperbole con i fuochi sulle ascisse.
Facendo varie prove mi sembra che i punti interessati siano quelli che con ascissa e ordinata negativi, sbaglio??
Mentre per l'ellisse mi è facile capire, con l'iperbole non ci riesco.
Grazie
Risposte
"flower78":
Ciao,
dovrei rappresentare i punti del piano che soddisfano quanto segue:
$4x^2-y^2<1$
ora $4x^2-y^2=1$ la scrivo cosi
$x^2/(1/4)-y^2=1$ e mi diventa una iperbole con i fuochi sulle ascisse.
Facendo varie prove mi sembra che i punti interessati siano quelli che con ascissa e ordinata negativi, sbaglio??
Mentre per l'ellisse mi è facile capire, con l'iperbole non ci riesco.
Grazie
Sbagli sì.
Se ad esempio consideri i punti $(0,alpha)$ con $alpha$ qualsiasi in $RR$ allora $4x^2-y^2=0-alpha^2=-alpha^2<=0<1$ e quindi anche questi punti vanno bene.
Prova a tracciare il grafico dell'iperbole e vedi se riesci a capirne qualcosa....
l'ho disegnata ma purtroppo ad occhio non riesco a capire 
"flower78":
l'ho disegnata ma purtroppo ad occhio non riesco a capire
Posta il disegno che hai fatto
ecco
basta prendere un punto che sta all'interno dei 2 rami oppure al di fuori e vedere se la disuguaglianza è soddisfatta....
ad esempio per il punto (0,0) avresti 0<1....vero
per il punto (1,0) avresti 4<1...falso
basta fare una sola di queste prove per capire ke la porzione di piano che ti interessa è quella racchiusa all'interno dei 2 rami dell'iperbole.
ad esempio per il punto (0,0) avresti 0<1....vero
per il punto (1,0) avresti 4<1...falso
basta fare una sola di queste prove per capire ke la porzione di piano che ti interessa è quella racchiusa all'interno dei 2 rami dell'iperbole.
Bravo.
Il disegno è perfetto.
Ora consideriamo una retta orizzontale qualunque $y=k$.
Prendiamo il punto di questa retta che sta sul ramo destro dell'iperbole.
Ora se ci spostiamo ancora più a destra abbiamo che la y resta la stessa (rimango sempre sulla retta) mentre la x aumenta. Allora $4x^2-y^2$ aumenterà rispetto a quando stavo sull'iperbole.
Ora sull'iperbole $4x^2-y^2=1$ e quindi ora sarà maggiore di 1.
Perciò tutti i punti a destra del ramo destro dell'iperbole sono da scartare.
Consideriamo ora sempre la solita retta $y=k$ e prendo il punto di questa retta che sta sul ramo sinistro dell'iperbole.
Se mi sposto verso sinistra (stando sempre su questa retta) la y resta la stessa mentre la x diminuisce. Però il modulo di x aumenta e quindi $x^2$ aumenta. Perciò $4x^2-y^2$ aumenta e quindi con lo stesso ragionamento fatto prima ho che $4x^2-y^2>1$ e quindi tutti i punti a sinistra del ramo sinistro dell'iperbole sono da escludere.
Consideriamo infine ancora la solita retta $y=k$. Partiamo dal punto che sta sul ramo sinistro dell'iperbole e spostiamoci verso destra fermandoci quando arriviamo al ramo destro dell'iperbole.
Ora se ci spostiamo in questo modo la $y$ resta la stessa mentre il modulo di x diminuisce. quindi $x^2$ diminuiosce, quindi $4x^2-y^2$ diminuisce e quindi $4x^2-y^2<1$ e perciò tutti i punti compresi tra i 2 rami dell'iperbole vanno bene
[mod="Steven"]Ho messo a posto io il codice che era sballato per un dollaro di troppo.[/mod]
Il disegno è perfetto.
Ora consideriamo una retta orizzontale qualunque $y=k$.
Prendiamo il punto di questa retta che sta sul ramo destro dell'iperbole.
Ora se ci spostiamo ancora più a destra abbiamo che la y resta la stessa (rimango sempre sulla retta) mentre la x aumenta. Allora $4x^2-y^2$ aumenterà rispetto a quando stavo sull'iperbole.
Ora sull'iperbole $4x^2-y^2=1$ e quindi ora sarà maggiore di 1.
Perciò tutti i punti a destra del ramo destro dell'iperbole sono da scartare.
Consideriamo ora sempre la solita retta $y=k$ e prendo il punto di questa retta che sta sul ramo sinistro dell'iperbole.
Se mi sposto verso sinistra (stando sempre su questa retta) la y resta la stessa mentre la x diminuisce. Però il modulo di x aumenta e quindi $x^2$ aumenta. Perciò $4x^2-y^2$ aumenta e quindi con lo stesso ragionamento fatto prima ho che $4x^2-y^2>1$ e quindi tutti i punti a sinistra del ramo sinistro dell'iperbole sono da escludere.
Consideriamo infine ancora la solita retta $y=k$. Partiamo dal punto che sta sul ramo sinistro dell'iperbole e spostiamoci verso destra fermandoci quando arriviamo al ramo destro dell'iperbole.
Ora se ci spostiamo in questo modo la $y$ resta la stessa mentre il modulo di x diminuisce. quindi $x^2$ diminuiosce, quindi $4x^2-y^2$ diminuisce e quindi $4x^2-y^2<1$ e perciò tutti i punti compresi tra i 2 rami dell'iperbole vanno bene
[mod="Steven"]Ho messo a posto io il codice che era sballato per un dollaro di troppo.[/mod]
misanino grazie per la tua spiegazione, purtroppo l'ultima parte risulta illegibile potresti aggiustarla??? E' un ragionamento che sto capendo e mi si è interrotto sul più bello!!!! 
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