Dominio aperto, chiuso, connesso per archi, convesso
Buongiorno a tutti,
avrei bisogno di aiuto per risolvere un parte di un esercizio.
Data la funzione $f8x,y)$ = $x-y+ln(-xy))$
Determinare il dominio $D$ e stabilire se è aperto, chiuso, connesso per archi, convesso.
Il dominio è ${(x,y)$ $in$ $RR^2$ $: xy<0}$ ed è aperto in quanto gli estremi non sono compresi.
Ora come arrivo a dire se è connesso per archi e/o convesso?
Potreste spiegarmi in generale come poter riconoscere se un dominio è convesso e/o connesso per archi?
Grazie mille!!
avrei bisogno di aiuto per risolvere un parte di un esercizio.
Data la funzione $f8x,y)$ = $x-y+ln(-xy))$
Determinare il dominio $D$ e stabilire se è aperto, chiuso, connesso per archi, convesso.
Il dominio è ${(x,y)$ $in$ $RR^2$ $: xy<0}$ ed è aperto in quanto gli estremi non sono compresi.
Ora come arrivo a dire se è connesso per archi e/o convesso?
Potreste spiegarmi in generale come poter riconoscere se un dominio è convesso e/o connesso per archi?
Grazie mille!!
Risposte
Capire se è un insieme è connesso per archi e/o convesso non è sempre immediato. In questo caso, abbiamo il vantaggio che possiamo visualizzare l'insieme e notiamo che consta di due pezzi separati: il secondo e il quarto quadrante. Perciò non sarà connesso (se non hai visto la definizione di connessione non importa, l'importante è che sai visualizzarla: un insieme è connesso se è fatto da un pezzo solo, non lo è se è fatto di più pezzi separati, più precisamente se è unione disgiunta di almeno due aperti).
In $\mathbb{R}^n$: un aperto è connesso per archi se e solo se è connesso; e un convesso è connesso per archi. Inoltre è sempre vero che connesso per archi implica connesso.
Perciò questo insieme non può essere né connesso per archi né convesso, perché non è connesso.
Se vuoi provare a verificare la connessione per archi (o la convessità) direttamente, devi capire se tutti gli archi (rispettivamente tutti i segmenti) sono contenuti nell'insieme dato. In questo caso, basta prendere un punto nel secondo quadrante e un punto nel quarto quadrante e nessun arco (né a maggior ragione segmento) sarà contenuto nell'insieme, perché dovrà attraversare per forza gli assi, che non ne fanno parte)
In $\mathbb{R}^n$: un aperto è connesso per archi se e solo se è connesso; e un convesso è connesso per archi. Inoltre è sempre vero che connesso per archi implica connesso.
Perciò questo insieme non può essere né connesso per archi né convesso, perché non è connesso.
Se vuoi provare a verificare la connessione per archi (o la convessità) direttamente, devi capire se tutti gli archi (rispettivamente tutti i segmenti) sono contenuti nell'insieme dato. In questo caso, basta prendere un punto nel secondo quadrante e un punto nel quarto quadrante e nessun arco (né a maggior ragione segmento) sarà contenuto nell'insieme, perché dovrà attraversare per forza gli assi, che non ne fanno parte)
Basta poco ad essere un po' più formali e adattare una soluzione ad un caso dove non puoi disegnare il dominio di f; ad esempio, quanto scrivo sotto si adatta, mutatis mutandis alla funzione \(\mathbb{R}^4 \to \mathbb{R} : (x,y,z,t) \mapsto \ln(-xyzt)\).
Mostriamo che \(\mathfrak{D}(f)\) (1) è aperto, (2) non è connesso (per archi), (3) non è convesso.
(1) \(\mathfrak{D}(f) = f^\leftarrow(-\infty,0)\), $f$ è continua e dunque la controimmagine di aperti è aperta.
(2) un qualsiasi cammino continuo \(\gamma : [0,1] \to \text{dom}(f)\) deve dare, per composizione con la proiezione sul fattore $i$-esimo del prodotto, una funzione continua \([0,1] \to \mathbb{R}\); scegliendo opportunamente due punti a coordinata $i$-esima negativa prima e positiva poi (o viceversa) e invocando il teorema degli zeri, otteniamo che il grafico di $\gamma$ deve bucare l'iperpiano $\{X_i = 0\}$.
(3) prendi la retta \(r : t\mapsto (t,t,\dots,t)\) , traslala del vettore $\sum e_i$; invocando ancora il teorema degli zeri trovi una coppia di punti di \(r \cap \mathfrak{D}(f)\) per cui il segmento che li unisce non sta tutto in \(\mathfrak{D}(f)\).
Mostriamo che \(\mathfrak{D}(f)\) (1) è aperto, (2) non è connesso (per archi), (3) non è convesso.
(1) \(\mathfrak{D}(f) = f^\leftarrow(-\infty,0)\), $f$ è continua e dunque la controimmagine di aperti è aperta.
(2) un qualsiasi cammino continuo \(\gamma : [0,1] \to \text{dom}(f)\) deve dare, per composizione con la proiezione sul fattore $i$-esimo del prodotto, una funzione continua \([0,1] \to \mathbb{R}\); scegliendo opportunamente due punti a coordinata $i$-esima negativa prima e positiva poi (o viceversa) e invocando il teorema degli zeri, otteniamo che il grafico di $\gamma$ deve bucare l'iperpiano $\{X_i = 0\}$.
(3) prendi la retta \(r : t\mapsto (t,t,\dots,t)\) , traslala del vettore $\sum e_i$; invocando ancora il teorema degli zeri trovi una coppia di punti di \(r \cap \mathfrak{D}(f)\) per cui il segmento che li unisce non sta tutto in \(\mathfrak{D}(f)\).
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