Dominio

[duff2]

ciao ragazzi,

ho un problema nel calcolo di un dominio, che sinceramente ritenevo banale eppure non riesco a farlo:

il dominio di $log(2-x-sqrt(x))$

come potete vedere è molto semplice eppure non riesco a fare venire il dominio esatto

Ho provato a mettere a sistema $x>=0$ e $(2-x-sqrt(x))>0$ e sinceramente penso che il metodo sia giusto, eppure un errore da qualche parte c'è.

grazie

[klarence1]

Il dominio sarà il risultato di quel sistema, posta i tuoi passaggi forse fai qualche errore di conti.

[duff2]

su $x>=0$ c'è ben poco da dire

mentre $(2-x-sqrt(x))>0$ lo risolvo come una equazione di 2° grado, cambiando i segni e invertendo il senso ovvero $(x+sqrt(x)-2)<0$ che ha come risultato $-2
mettendo a sistema la sulzione dovrebbe essere $dom [0;1)$

dov'è l'errore?

secondo me c'è un errore nelle soluzioni del prof., però sarei più sicuro se qualcun altro confermasse

thanks

[klarence1]

"duff":

cambiando i segni e invertendo il senso ovvero $(x+sqrt(x)-2)<0$ che ha come risultato $-2
thanks

Il risultato non può essere quello, se per esempio $x=-1$ (che è compreso fra $-2$ e $1$) hai che $sqrt(x)$ non è definita...
Ricorda che anche quando studi da sola la disequazione $(x+sqrt(x)-2)<0$ devi tener conto della radice che hai dentro.

[duff2]

e allora dove è l'errore?

[Darèios89]

Credo che sbagli ad impostare il sistema per la risoluzione della disequazione irrazionale.
Fa vedere un pò come la imposti.

[klarence1]

"duff":e allora dove è l'errore?

$(x+sqrt(x)-2)<0$ ti conviene portare $x-2$ dall'altra parte e ti viene $sqrt(x)<2-x$.
Ora studi il caso in cui $2-x<=0$ (e qui non ci saranno soluzioni perchè si avrebbe che una quantità negativa dovrebbe essere maggiore di una quantità positiva) e il caso in cui $2-x>0$ (e in quel caso puoi elevare tranquillamente al quadrato e risolvere l'equazione di secondo grado... una volta risolta metti la soluzione a sistema con $2-x>0$).

[regim]

La soluzione di Duff è quella buona. Se si vuole avere una conferma basta fare la derivata dell'argomento:

$-1-1/(2*sqrt(x)) < 0$ per ogni $x>0$.

L'argomento è quindi una funzione strettamente descrescente, siccome per $x=0$ vale $2$, e per $x=1$ vale $0$ allora per $x>1$ è sempre negativa.
L'insieme di definizione non può che essere quindi l'insieme $D =[0,1)$. Datosi che per $x=1$ l'argomento non può essere considerato.

PS
A volte questo metodo è conveniente quando si individuano facilmente gli zeri della funzione.

[edit] mi riferivo al risultato di Duff

[Darèios89]

La soluzione, cioè il dominio è quello, ma gli è riuscito a colpo di.....non so.
Perchè la sua disequazioni l'ha risolta sbagliando come ha anche confermato klarence.

[duff2]

hahahahaha

magari mi capitassero questi colpi di fortuna all'esame.........

comunque non ho ancora capito, il mio metodo di risoluzione è sbagliato o no?

[regim]

@Dareios Non l'ha impostata, quindi mi riferivo solo al risultato. Suggerivo solo un metodo alternativo che, a volte, come in questo caso, può tornare utile e, soprattutto, molto sbrigativo.

[klarence1]

"Darèios89":La soluzione, cioè il dominio è quello, ma gli è riuscito a colpo di.....non so.
Perchè la sua disequazioni l'ha risolta sbagliando come ha anche confermato klarence.

Ed effettivamente ho risolto per conto mio e viene lo stesso intervallo di duff .... ma è una pura combinazione.

[duff2]

come dice sempre Dylan Dog: "nessuna combinazione è per caso"

[Darèios89]

Ma ci sei riuscito o no a risolverla?

[regim]

Guardate che duff non ha detto una castroneria, è possibile procedere in quel modo, bisogna solo stare un po' attenti:

$2-x-sqrt(x)>0$

quindi:

$2-x > sqrt(x)$
$4 +x^2 - 4x > x$
$x^2-5x+4 >0$ le soluzioni sono $4$ e $1$.
per cui:
l'equazione di secondo grado è maggiore di $0$ per $x<1$ e $x>4$ tenendo presente che i valori $x>2$ non li posso considerare, rimane $x<1$
datosi che $x>=0$ il dominio diventa $D=[0,1)$.

PS
$(2-x)^2 > [sqrt(x)]^2$ questa è soddisfatta per i valori $x<1$ e $x>4$ e $x>=0$ ma $2-x$ dev'essere maggiore di zero se voglio che sia una quantità positiva come richiesto dall'equazione iniziale.

[duff2]

grazie amici per tutti i vostri suggerimenti, diciamo che il risultato mi è venuto corretto, ma la fortuna è stata dalla mia.

Comunque tutto è bene quel che finisce bene.

grazie ancora una volta

[klarence1]

Si si, praticamente gli ho detto di procedere in quel modo (l'ho scritto in modo più artificioso).

[Darèios89]

Si lo so, solo che avrà sbagliato poi perchè il risultato non coincideva ed era meglio se la faceva lui

Comunque, la disequazione è lì pronta e puoi cpaire dove (se) hai sbagliato.

Il dominio era giusto per fortuna....