Domini regolari per Teorema della Divergenza

[liberatorimatteo]

Buonasera, sto studiando il teorema della divergenza nel piano ma non mi è chiara la seguente definizione (riporto la definizione che ho negli appunti, non ne ho trovata una uguale su internet...)

DEFINIZIONE Sia $A⊆mathbb(R)^2$ un aperto limitato. Si dice che $A$ è regolare se $∀P=(x,y)∈∂A$ esistono $r_1,r_2>0$ ed esiste una funzione $α:[x-r_1,x+r_1 ]→[y-r_2,y+r_2 ]$ tali che definito

$Q=Q_(P,r_1,r_2 )=(x-r_1,x+r_1 )×(y-r_2,y+r_2 )$

valgono le seguenti condizioni

1) $α($ $(x-r_1, x+r_1)$ $)=(y-r_2,y+r_2 )$
2) $Q∩∂A={(x,α(x))∈R^2:x∈(x-r_1,x+r_1 )}$
3) $Q∩A={(x,y)∈R^2:x∈(x-r_1,x+r_1 ),y>α(x)}$ e il prof ha aggiunto "oppure $y<\alpha(x)$ oppure $x$ e $y$ scambiati"[/list:u:bn6n0dnc]

Non mi è chiaro come siano fatti questi insiemi... Ad esempio se prendo un disco, nei due punti della frontiera che hanno tangente verticale ho che per qualsiasi $r_1>0$ la due non è soddisfatta ma sicuramente sono io che non ho ben capito...

Questa definizione è stata data per enunciare il teorema della divergenza nel piano

TEOREMA DELLA DIVERGENZA NEL PIANO Sia $A⊆\RR^2$ un aperto limitato regolare e sia $F:C(A)→\RR^2$ (ove $C(A)$ è la chiusura di $A$) un campo vettoriale di classe $C^1$ su un aperto contenente $C(A)$. Allora si ha

$∬_A \text(div) F(x)=∫_(∂A)F⋅n ds$

[liberatorimatteo]

Continuando a pensarci... credo che il prof voglia dire che per ogni punto della frontiera esiste un intorno di tale punto tale che la frontiera contenuta nell'interno si tale intorno è parametrizzabile da una curva regolare (tuttavia mi pare che il modo in cui sia espresso tale fatto non sia del tutto corretto... perché dice che esiste una funzione reale a valori reali ($\alpha$) invece di dire che esiste una curva regolare?). Mentre per il terzo punto ho ancora qualche dubbio, credo di aver capito l'idea ma anche qui non mi pare che il concetto sia espresso correttamente.

Chiaramente è molto probabile che stia sbagliando io piuttosto che stia sbagliando il prof... xD

[Bremen000]

Secondo me hai ben capito e quella definizione è sbagliata. Quello che si vuole dire è che localmente la frontiera deve essere l'immagine di una qualche funzione (di solito si chiede che la funzione sia regolare, non so almeno Lipschitziana) . Questo generalmente viene fatto in un opportuno sistema di coordinate quindi non necessariamente quelle dello "spazio ambiente" (perché semplicemente, come dici tu nel caso della sfera, le cose non funzionano). La terza condizione esprime invece il fatto che il dominio stia tutto da una parte della frontiera, per evitare casi patologici tipo cuspidi.

La definizione di dominio Lipschitziano per esempio:

Sia $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ un dominio. Diciamo che è Lipschitziano se per ogni $\mathbf{x} \in \partial \Omega$ esistono:
-$r_1, r_2 >0$
-un sistema di coordinate cartesiane \( (y_1, \dots, y_n) = (\mathbf{y}', y_n) \) con origine in \(\mathbf{x} \)
-una funzione Lipschitziana $\phi: B_{r_1}(\mathbf{0}') \to \mathbb{R} $ tale che $\phi(\mathbf{0}') =0$

tali che

1. \(\partial \Omega \cap B_{r_2}(\mathbf{x}) = \{ (\mathbf{y}', y_n) \subset \mathbb{R}^n : y_n = \phi(\mathbf{y}') , \mathbf{y}' \in B_{r_1}(\mathbf{0}') \} \)
2. \( \Omega \cap B_{r_2}(\mathbf{x}) = \{ (\mathbf{y}', y_n) \subset \mathbb{R}^n : y_n > \phi(\mathbf{y}') , \mathbf{y}' \in B_{r_1}(\mathbf{0}') \} \)

[liberatorimatteo]

Ho capito cosa intendeva il prof... in realtà, poiché durante le lezioni è solitamente molto disordinato, mi ero perso un alcuni dettagli... la definizione rigorosa che lui intendeva è la seguente

DEFINIZIONE Sia $A⊆\RR^2$ un aperto limitato. Si dice che $A$ è regolare se $∀P=(x_P,y_P )∈∂A$ esistono $ε,δ>0$ tali che definito $Q=Q_(P,ε,δ)=B_ε (x_P )×B_δ (y_P )$ sia soddisfatta almeno una delle seguenti condizioni
1) esiste una funzione $α:C(B_ε (x_P ) )→C(B_δ (y_P ) )$ tale che
$α(B_ε (x_P ))=B_δ (y_P )$
$Q∩∂A={(x,α(x))∈R^2:x∈B_ε (x_P )}$
$Q∩A={(x,y)∈R^2:x∈B_ε (x_P ),y>α(x)}$ oppure $Q∩A={(x,y)∈R^2:x∈B_ε (x_P ),y<α(x)}$
2) esiste una funzione $α:C(B_δ (y_P ) )→C(B_ε (x_P ) )$ tale che
$α(B_δ (y_P ))=B_ε (x_P )$
$Q∩∂A={(α(y),y)∈R^2:y∈B_δ (y_P )}$
$Q∩A={(x,y)∈R^2:y∈B_δ (y_P ),x>α(y)}$ oppure $Q∩A={(x,y)∈R^2:x∈B_δ (y_P ),x<α(y)}$

ove con $C(S)$ si intende la chiusura di $S$ (non capisco come mettere la barra in alto)

Sicuramente è poco elegante ma almeno ora ha senso...

Grazie mille, Bremenn mi sei stao comunque di aiuto