Domandina veloce: perchè non è un intervallo? (non ha buchi)

[rimaxx]

Buongiorno a tutti

La correzione di un esercizio che ho fatto riporta come spiegazione che
$ {x∈Q: -1 <=x<= sqrt3} $
risultato dell'intersezione di due altri intervalli, non è un intervallo.
Perchè non lo è?

buona serata!

[killing_buddha]

Beh, non è l'intersezione di due intervalli. E' l'intersezione di due intervalli con $QQ$.

[rimaxx]

Sono un idiota.
Diciamo che scegliendo Q ho escluso da tutti i numeri compresi tra -1 e $ sqrt3 $ quelli irrazionali, tipo $ pi/2 $ , $ pi/3 $, $ -e/3 $ e ovviamente $ sqrt3 $ : quindi i "buchi" ci sono.
Giusto per sicurezza, però: se si trattasse di R anzichè di Q, quello sarebbe un intervallo? E, più precisamente, non possono esistere intervalli in Q, giusto?

[vict85]

Che definizione usi di intervallo? Per esempio puoi definire un intervallo (chiuso) \([a,b]\) come l'insieme di tutti gli elementi compresi tra i valori a e b (inclusi). Usando questa definizione, i "buchi" di questo insieme non c'entrano nulla. Il tuo problema è che \(\sqrt{3}\) non è in \(\mathbb{Q}\) quindi quell'intervallo è "aperto a destra".

[Flamber]

Si certo, in $RR$ quello è un intervallo (aperto).

$QQ$ è un insieme denso, cioè scelti due numeri razionali $q_1$ e $q_2$, per quanto "vicini" essi siano, esiste sempre $q_\epsilon \in QQ $ tale che $q_1
è vero anche il contrario, cioè tra due numeri reali non razionali, esiste sempre un numero razionale, ma in questo caso $RR$ rimane un insieme completo perchè $QQ$ è contenuto in $RR$

[vict85]

In \(\mathbb{R}\) quell'intervallo è chiuso.

In ogni caso mi sembra che ci si stia focalizzando su aspetti non molto importanti. Per dire che un oggetto \(\displaystyle X \) è un intervallo bisogna prima avere bene in mente cosa sia un intervallo. Siccome io ho fatto analisi matematica di base molti anni fa, non ricordo che definizione usava il libro, pertanto ne propongo una io che penso abbia senso:

Un sottoinsieme \(\displaystyle X \) di un insieme \(\displaystyle Y \) si dice intervallo se esistono \(\displaystyle a,b\in Y \) tali che \(\displaystyle x\in X\setminus \{ a, b \} \Leftrightarrow a < x \wedge x < b \). Un intervallo \(\displaystyle X \) è detto aperto se \(\displaystyle a,b\notin X \), ed è detto chiuso se \(\displaystyle a,b\in X \).

Questa definizione non richiede alcune topologia, solo un ordine dell'insieme (e neanche completo). Non è difficile aggiungere anche gli intervalli illimitati alla mia definizione.

Con questa definizione, quell'insieme non è un intervallo, e non è neanche l'intersezione di un numero finito di intervalli. E' l'intersezione di una famiglia infinita di intervalli. Non è neanche possibile definirlo come complementare di un'insieme finito di intervalli (eventualmente illimitati).

[Flamber]

Si, volevo dire chiuso

Secondo me dipende tutto dalla definizione che il libro dà di intervallo. Con ogni probabilità l'esercizio intende semplicemente dire che quello non è un intervallo sulla retta reale.

A mio avviso, comunque, il concetto di intervallo esiste solo nei numeri reali, o comunque è legato alla completezza dell'insieme. Definirei un intervallo come un insieme $I=[a,b]$ contenuto in $RR$, tale che ogni punto compreso tra due punti dell'insieme, è anch'esso un punto dell'insieme.

Dico questo anche perchè il concetto di intorno sferico di raggio r, è una generalizzazione del concetto di intervallo (in 2,3...n dimensioni). Come si fa a definire un intorno sferico senza la cardinalità di $RR$? Per esempio in $CC$, si ha $B_r(z_0)={z\inCC ":" |z-z_0|
Sarebbe semplicemente un insieme di numeri con una distanza minore di $r$ da $z_0$, ma certamente non sarebbe un intorno sferico o un intorno circolare, proprio perchè quegli insiemi non definirebbero più una sfera o un cerchio. Penso che questo ragionamento si possa applicare anche al caso monodimensionale.

[vict85]

"Flamber":[...] A mio avviso, comunque, il concetto di intervallo esiste solo nei numeri reali, o comunque è legato alla completezza dell'insieme. Definirei un intervallo come un insieme $I=[a,b]$ contenuto in $RR$, tale che ogni punto compreso tra due punti dell'insieme, è anch'esso un punto dell'insieme.

Dico questo anche perchè il concetto di intorno sferico di raggio r, è una generalizzazione del concetto di intervallo (in 2,3...n dimensioni). Come si fa a definire un intorno sferico senza la cardinalità di $RR$? Per esempio in $CC$, si ha $B_r(z_0)={z\inCC ":" |z-z_0|
Sarebbe semplicemente un insieme di numeri con una distanza minore di $r$ da $z_0$, ma certamente non sarebbe un intorno sferico o un intorno circolare, proprio perchè quegli insiemi non definirebbero più una sfera o un cerchio. Penso che questo ragionamento si possa applicare anche al caso monodimensionale.

Ho l'impressione che tu voglia dara al concetto di intorno il significato di convesso. Tra l'altro ogni definizione che hai dato è validissima anche in \(\displaystyle \mathbb{Q} \), seppur un intervallo in \(\displaystyle \mathbb{Q} \) non sia un insieme connesso.

Detto questo è evidente che l'insieme dato non è un intervallo di \(\displaystyle \mathbb{R} \), e magari il professore chiedeva questo.

Comunque vorrei farti notare che gli insiemi \(\mathbb{Q}^N\) e persino \(\mathbb{Z}^n\) sono spazi metrici con la topologia indotta da \(\mathbb{R}^N\), pertanto la definizione di palla aperta e chiusa è ben definita anche su questi insiemi. D'altra parte, cos'è una sfera o un cerchio ?

[Flamber]

Ho rispolverato il libro di analisi 1 per l'occasione, ed hai ragione. Il testo del prof. Pandolfi che a volte pecca in immediatezza ed esempi, ma ha certamente un'attenzione maniacale per la teoria, riporta la seguente definizione:

"Si definisce intervallo di $QQ$ oppure di $RR$ un sottoinsieme $I$, rispettivamente di $QQ$ oppure di $RR$, tale che se $x_1$ ed $x_2$ sono due elementi distinti di $I$, e se $x_0$ è un numero tale che $x_1 [...]
Se $I$ è un intervallo di $RR$, allora $I$ intersecato $QQ$ è un intervallo di $QQ$."

Quindi, almeno per questa definizione, quello è un intervallo in $QQ$.