Domandina teorica veloce
Data una equazione differenziale lineare... ad esempio del secondo ordine...
Le soluzioni quante sono?
Una è la soluzione particolare, che, anche presa da sola, risolve l'equazione differenziale, e lo si verifica con una banale sostituzione.
L'altra è l'integrale generale, che somma la soluzione particolare alla soluzione dell'omogenea associata.
Anch'essa risolve l'equazione differenziale, se si effettua la sostituzione.
Ho notato che invece la soluzione dell'omogenea associata, presa da sola, non risolve l'equazione differenziale.
Quindi le soluzioni di una differenziale lineare completa (a coefficienti costanti) del secondo ordine sono DUE?
entrambe contenenti la soluzione particolare?
PLEASE non rispondete che è una domanda stupida...
la mia prof del liceo diceva che se uno non fa mai domande idiote, vuol dire che è un idiota!
Grazie in anticipo a chi risponderà
Le soluzioni quante sono?
Una è la soluzione particolare, che, anche presa da sola, risolve l'equazione differenziale, e lo si verifica con una banale sostituzione.
L'altra è l'integrale generale, che somma la soluzione particolare alla soluzione dell'omogenea associata.
Anch'essa risolve l'equazione differenziale, se si effettua la sostituzione.
Ho notato che invece la soluzione dell'omogenea associata, presa da sola, non risolve l'equazione differenziale.
Quindi le soluzioni di una differenziale lineare completa (a coefficienti costanti) del secondo ordine sono DUE?
entrambe contenenti la soluzione particolare?
PLEASE non rispondete che è una domanda stupida...
la mia prof del liceo diceva che se uno non fa mai domande idiote, vuol dire che è un idiota!
Grazie in anticipo a chi risponderà
Risposte
Ciao. La soluzione dell'omogenea associata chiaramente non può andare bene: è, molto banalmente, un'equazione diversa.
Invece, ricorda che la differenza di due soluzioni qualunque dell'equazione non omogenea deve essere soluzione dell'equazione omogenea. L'integrale generale è quindi dato dalla somma di una soluzione particolare e di quella dell'omogenea, e dipende dunque dalle medesime costanti da cui dipende la soluzione dell'equazione omogenea. Ti puoi quindi rendere facilmente conto che quella che ottieni è una famiglia parametrica di soluzioni che, in assenza di condizioni iniziali, rappresentano tutte le possibili soluzioni.
Invece, ricorda che la differenza di due soluzioni qualunque dell'equazione non omogenea deve essere soluzione dell'equazione omogenea. L'integrale generale è quindi dato dalla somma di una soluzione particolare e di quella dell'omogenea, e dipende dunque dalle medesime costanti da cui dipende la soluzione dell'equazione omogenea. Ti puoi quindi rendere facilmente conto che quella che ottieni è una famiglia parametrica di soluzioni che, in assenza di condizioni iniziali, rappresentano tutte le possibili soluzioni.
"SalvatCpo":
Data una equazione differenziale lineare... ad esempio del secondo ordine...
Le soluzioni quante sono?
Sono infinite ed è la teoria generale che te lo dice.
Infatti, tutte le soluzioni di una EDO lineare d'ordine $n$ si ottengono sommando una soluzione particolare della EDO con l'integrale generale dell'omogenea associata; dato che l'integrale generale dell'omogenea dipende da $n$ parametri, hai uno spazio di soluzioni di dimensione $n$.
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