Domandina su Serie Numeriche
Ciao. Una serie numerica può essere a segno costante o alterno e da quì si decide quli criteri applicare per stabilire la convergenza.
Una serie è a segni alterni quando compare una funz. trigonometrica poichè oscilla o quando compare $(-1)^n$. Volevo sapere, ci sono altri casi in cui è a segno variabile?
Tra il criterio di Leibniz e quello della conv assoluta per quanto riguarda quelle a segno variabile, quando mi conviene usare uno e quando l'altro?
Grazie
Una serie è a segni alterni quando compare una funz. trigonometrica poichè oscilla o quando compare $(-1)^n$. Volevo sapere, ci sono altri casi in cui è a segno variabile?
Tra il criterio di Leibniz e quello della conv assoluta per quanto riguarda quelle a segno variabile, quando mi conviene usare uno e quando l'altro?
Grazie
Risposte
"AlexlovesUSA":
Una serie è a segni alterni quando compare una funz. trigonometrica poichè oscilla [...]
Ciò non sempre è vero.
Ad esempio [tex]$\sum \frac{\cos 2n\pi}{n^2}$[/tex] non è a segni alterni; e nemmeno [tex]$\sum \sin n$[/tex] è a segni alterni...
Quando si parla di questi concetti elementari occorre sempre tener presente le definizioni: qual è la definizione di serie a segni alterni?
Non ha senso inventarsi delle definizioni "operative", tipo quella in citazione dal tuo post.
Per quanto riguarda $(cos2npi)/n^2$ ci siamo perchè il num. è sempre 1 Ma per il seno no. Il seno quando per esempio n va da 0 a $+oo$ abbiamo che ci sono dei valori di n per cui il seno negativo quindi abbiamo somme e differenze. Nel mio libro non c'è proprio una definizione di serie a segni alterni ma mostra solo qualche esempio dove compare $-1^n$ davanti $a_n$. Da quello che ho capito io una serie si dice a segni alterni se è $ sum (-1)^na_n$ con $a_n>=0$. Ma per quanto riguarda il seno quello varia sempre non è vero che è sempre $>=0$.
Perfavore potresti chiarirmi le idee? Grazie
Perfavore potresti chiarirmi le idee? Grazie
Ho guardato una videolezione di matematica sulle serie, abbastanza dettagliata e facile da capire e ti dico che per il seno ti sbagnli di grosso. Si, è vero, ho sbgliato a dire quella cosa ma non è del tutto falsa perchè se tu analizzi una funzione trigonometrica, è oscillante, non è di segno sempre positivo o uguale a 0. Tuttavia noi dobbiamo guardare la funzione nel suo insieme e vedere se quella funzione rende davvero tutta la funzione a segni alterni ma di per se la natura delle funz. trigonometriche è quella e sono portate a indurre quel comportamento alla funzione anche se non sempre ci riescono. Per esempio $n^3-cosn$ è positiva perchè $n^3$ è maggiore per n che va da 1 a $+oo$ di cosn che va da -1 a 1, ma se non vi fosse stato quel $n^3$ davanti sarebbe stata a segni alterni.
"AlexlovesUSA":No Alex, scusa se intervengo io, poi Gugo se vorrà entrerà più nel dettaglio. Dico una cosa al volo per evitarti perdite di tempo: stai sbagliando tu, Gugo ti ha dato un consiglio che io condivido appieno, e cioè di curare il linguaggio e di non dire cose basandoti solo sull'intuito.
Ho guardato una videolezione di matematica sulle serie, abbastanza dettagliata e facile da capire e ti dico che per il seno ti sbagnli di grosso.
Qual è la definizione di serie a segni alterni? Si dice a segni alterni una serie $sum a_n$ tale che $a_n*a_{n+1}<=0$, ovvero tale che il segno di ogni termine sia opposto rispetto al segno del successivo. La serie $sum sin n$ non è a segni alterni perché per esempio $sin 1$ e $sin 2$ sono entrambi positivi. Fine.
Consiglio: non perdere tempo ed energie a riflettere su come rendere $sum sin n$ una serie a segni alterni. Non lo è e basta, queste tue elucubrazioni non ti porteranno da nessuna parte.
Scusate ma io non capisco. Il seno varia tra -1 e 1.
Se tu sostituisci al senn tutti i valori da 1 a $+oo$ sommandoli non troverai anche dei termini negativi oltre a quelli positivi? il sin non è $sinn>=0$ da 1 a $+oo$ ma varia di segno. Per esempio $sin(pi/2)=1$ mentre $sin(3/2pi)=-1$ o no? Poichè in una serie nojnn ci sono numeri reali ma solo naturali ci sarà o no un valoro di n, cioè dell'angolo, tale che il seno è negativo o no?
Perchè il professore e i libri dicono che per esempio $sum((sinn)/(1+logn))$(con sommatoria da 1 a $+oo$) è a segni alterni? e gli stessi dicono che dipende dal seno? Io non ci capisco + niente. Oppure perchè si ha che $cos(npi)$ è un modo per scrivere $(-1)^n$? Io quando si tratta di matematica non voglio basarmi solo sul sentito dire dagli altri ma volgio capire io perchè quella cosa è così quindi vi prego perfavore, se lo sapete, di spiegarmi il perchè di questa cosa.
Se tu sostituisci al senn tutti i valori da 1 a $+oo$ sommandoli non troverai anche dei termini negativi oltre a quelli positivi? il sin non è $sinn>=0$ da 1 a $+oo$ ma varia di segno. Per esempio $sin(pi/2)=1$ mentre $sin(3/2pi)=-1$ o no? Poichè in una serie nojnn ci sono numeri reali ma solo naturali ci sarà o no un valoro di n, cioè dell'angolo, tale che il seno è negativo o no?
Perchè il professore e i libri dicono che per esempio $sum((sinn)/(1+logn))$(con sommatoria da 1 a $+oo$) è a segni alterni? e gli stessi dicono che dipende dal seno? Io non ci capisco + niente. Oppure perchè si ha che $cos(npi)$ è un modo per scrivere $(-1)^n$? Io quando si tratta di matematica non voglio basarmi solo sul sentito dire dagli altri ma volgio capire io perchè quella cosa è così quindi vi prego perfavore, se lo sapete, di spiegarmi il perchè di questa cosa.
Comunque scusate perchè forse ho sbagliato ad esprimermi ma non intendevo dire serie a segni alterni ma serie a termini di segno qualsiasi e questa è una grossa precisazione.
C'è un mare di errori nei tuoi post precedenti, Alex. E' tutto sbagliato dalle fondamenta, avrei bisogno di stare qui un'ora per spiegarti tutto per filo e per segno e purtroppo non ho tutto questo tempo. Ti dò qualche spunto invitandoti a ripassare per bene tutta la matematica di base e in particolare l'abc sulle successioni di numeri reali.
1) Per prima cosa devi specificare di cosa stai parlando. In matematica hai la possibilità di poter definire in modo completamente non ambiguo gli oggetti di cui tratterai: usala! In tutto il topic hai parlato di "serie a segni alterni" senza sapere la definizione, poi adesso all'ultimo momento cambi le carte in tavola e dici di voler parlare di serie a segno qualsiasi. Ma allora qual è la domanda? Non si capisce più, se mai si fosse capito.
Questo di parlare basandoti sull'aria fritta è il problema concettuale più grave che riscontro nel tuo topic e sul quale ti consiglio di lavorare.
2) Rifletti bene sulla successione $(sin(n))_{n\inNN}$. Questa è una maniera condensata per scrivere
$sin 1, sin 2, sin 3, ...$
In quale punto di questa sequenza compare $sin (pi/2)$? In nessuno. E allora perché lo tiri in ballo? E' un altro errore.
E ci sarebbe tanto altro da dire. Se vuoi discutere di questo argomento, fai un RESET mentale e riparti da zero: riformula bene la domanda, avendo cura di capire prima le definizioni degli oggetti che stai trattando, e non trovandoti più a parlare senza sapere cosa stai dicendo.
1) Per prima cosa devi specificare di cosa stai parlando. In matematica hai la possibilità di poter definire in modo completamente non ambiguo gli oggetti di cui tratterai: usala! In tutto il topic hai parlato di "serie a segni alterni" senza sapere la definizione, poi adesso all'ultimo momento cambi le carte in tavola e dici di voler parlare di serie a segno qualsiasi. Ma allora qual è la domanda? Non si capisce più, se mai si fosse capito.
Questo di parlare basandoti sull'aria fritta è il problema concettuale più grave che riscontro nel tuo topic e sul quale ti consiglio di lavorare.
2) Rifletti bene sulla successione $(sin(n))_{n\inNN}$. Questa è una maniera condensata per scrivere
$sin 1, sin 2, sin 3, ...$
In quale punto di questa sequenza compare $sin (pi/2)$? In nessuno. E allora perché lo tiri in ballo? E' un altro errore.
E ci sarebbe tanto altro da dire. Se vuoi discutere di questo argomento, fai un RESET mentale e riparti da zero: riformula bene la domanda, avendo cura di capire prima le definizioni degli oggetti che stai trattando, e non trovandoti più a parlare senza sapere cosa stai dicendo.
Ok scusate. Comunque intendevo dire serie di segno qualsiasi. Le serie a segno alterno sono quelle della forma $(-1)^na_n$ perchè per $n$ per esempio è + e per $n+1$ è - e così via, come dicevi tu sopra. Per quanto riguarda il seno lo so che $ninNN$ e quello che esce fuori. Quando ho tirato in ballo $pi/2$ intendevo dire che quello è reale e che non dobbiamo usarlo ma se noi a n sostituiamo 90 abbiamo $sin90=1$ e se sostituiamo 270 abbiamo $sin270=-1$ e poichè la serie va da 1 a $+oo$ questi valori sono compresi infinite volte e quindi la serie e una somma di termini positivi e anche termini negativi quindi non è a segno costante o meglio $a_n>=0$ perchè quello che noi facciamo è girare la circonferenza, partendo dall'angolo di un grado, all'infinito e usando solo i naturali. Mi sono spiegato adesso ?
Non va bene ancora. Intanto la definizione di "serie a segno alterno" non è quella che dici tu. Più sopra ho riportato io la definizione corretta, se non ti fidi di quanto ho scritto io (e faresti bene a farlo) puoi aprire il tuo libro e cercare lì sopra.
Per quanto riguarda il seno c'è una grossa incompresione di fondo. La funzione $sin$ ha sempre l'argomento espresso in radianti. (*) Quindi non è vero che $sin 90=1$. E questo dovresti saperlo perché nello stesso topic parli anche di $sin(pi/2)=1$.
Il resto del tuo ultimo post è assolutamente incomprensibile.
____________________________________
(*)Ci sono vari motivi per cui si fa questa scelta: un motivo fisico è che i radianti sono adimensionali (numeri puri) e quindi ha senso darli in input ad una funzione trascendente come $sin$ senza la necessità di fattori di correzione (tu scriveresti mai $sin (1"cm")$?). Poi c'è un motivo analitico ed è che con l'argomento in radianti vale il limite notevole $lim_{x \to 0}\frac{sin x}{x}=1$. Altrimenti avresti un risultato più complicato con conseguente inutile appesantimento di tutte le formule trigonometriche.
Per quanto riguarda il seno c'è una grossa incompresione di fondo. La funzione $sin$ ha sempre l'argomento espresso in radianti. (*) Quindi non è vero che $sin 90=1$. E questo dovresti saperlo perché nello stesso topic parli anche di $sin(pi/2)=1$.
Il resto del tuo ultimo post è assolutamente incomprensibile.
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(*)Ci sono vari motivi per cui si fa questa scelta: un motivo fisico è che i radianti sono adimensionali (numeri puri) e quindi ha senso darli in input ad una funzione trascendente come $sin$ senza la necessità di fattori di correzione (tu scriveresti mai $sin (1"cm")$?). Poi c'è un motivo analitico ed è che con l'argomento in radianti vale il limite notevole $lim_{x \to 0}\frac{sin x}{x}=1$. Altrimenti avresti un risultato più complicato con conseguente inutile appesantimento di tutte le formule trigonometriche.
Alex, quello che ti vuole dire dissonance non è che $ sin n > 0 \forall n \in NN $ ma che non è propriamente a segno alterno, perchè ciò supporrebbe che ogni termine abbia segno opposto a quello del precedente. Effettivamente non è così.
$sin 1 = 0.84$ $sin2 = 0.90 $ $sin3 = 0.14$ $sin4=-0.75$ $sin 5 = -0.95$ etc etc...
Ciò ( come puoi ben constatare ) non cambia il fatto che il limite oscilli per $n -> \infty$ e che $sin n$ assuma valori di segno opposto, solo che la frequenza del cambio di segno non è di 1 termine.
Non so come esprimermi meglio, ma se ho capito bene, è questo che ti vuole dire dissonance... Meglio detto, non puoi scrivere $ sin n $ come $ (-1)^n \cdot |sin n| $
Sbaglio dissonance?
$sin 1 = 0.84$ $sin2 = 0.90 $ $sin3 = 0.14$ $sin4=-0.75$ $sin 5 = -0.95$ etc etc...
Ciò ( come puoi ben constatare ) non cambia il fatto che il limite oscilli per $n -> \infty$ e che $sin n$ assuma valori di segno opposto, solo che la frequenza del cambio di segno non è di 1 termine.
Non so come esprimermi meglio, ma se ho capito bene, è questo che ti vuole dire dissonance... Meglio detto, non puoi scrivere $ sin n $ come $ (-1)^n \cdot |sin n| $
Sbaglio dissonance?
Ecco hai centrato in pieno il problema. E' questo che io volevo dire e se è questo quello che dice dissonance è giustissimo. Io dico che il seno non è a segno costante e no che è a segni alterni e quindi certamente non posso scrivere $(-1)^nsinn$. Quindi nella serie del tipo $sum(sinn)/(nln^2n)$ devo applicare la convergenza assoluta poichè non è $a_n>=0$ da 1 a $+oo$ Quindi per confronto abbiamo che $a_n<=1/(nln^2n)$ dopo avere messo tutto in valore assoluto e quindi la serie converge perchè l'esp di $n=1$ e l'esp di $lnn=2>1$. Ci siamo adesso?
P.S. comunque come fate voi a calcolare quei valori del seno? tipo $sin1=0,84$?
P.S. comunque come fate voi a calcolare quei valori del seno? tipo $sin1=0,84$?
Calcolare i valori assunti da $sin$ è un fatto di calcolo numerico. Si calcolano sempre valori approssimati tranne in pochissimi casi "buoni" come $sin(pi/3), sin (pi/4)$. Per calcolare i valori approssimati ci sono delle tecniche (alcune delle quali probabilmente conosci, perché si basano sulle serie di Taylor) ma non credo sia il caso di parlarne ora.
Allora: traduzione della tua domanda. Se ho una serie NON a segno costante ma NON a segni alterni, come posso stabilire se essa converge o meno? Risposta: vedi se c'è la convergenza assoluta. E se non c'è sei nei guai perché potrebbe essere molto difficile risolvere il tuo problema.
Detto questo, la tua discussione della convergenza di $\frac{sin n}{1+log^2n}$ è sbagliata. O almeno, io non ho capito da dove esce quella disuguaglianza.
Allora: traduzione della tua domanda. Se ho una serie NON a segno costante ma NON a segni alterni, come posso stabilire se essa converge o meno? Risposta: vedi se c'è la convergenza assoluta. E se non c'è sei nei guai perché potrebbe essere molto difficile risolvere il tuo problema.
Detto questo, la tua discussione della convergenza di $\frac{sin n}{1+log^2n}$ è sbagliata. O almeno, io non ho capito da dove esce quella disuguaglianza.
Scusa tanto ho sbagliato a scrivere sopra la funzione non è $sum(sinn)/(1-ln^2n)$ ma è $sum(sinn)/(nln^2n)$ quindi ci siamo.
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