Domandina semplice sulle equazioni differenziali ordinarie
Premessa: ho cominciato un paio di settimane fa il corso e, poichè la prof. spiega molto velocemente e da molte cose per scontate, alcune volte mi capita di prendere gli appunti in fretta per non perdere il filo del discorso ma, come in questo caso, alcune volte non capisco bene il significato di tutti gli "oggetti" (scusate il termine poco matematico) che utilizziamo.
Nello studio di un equazione differenziale generale, la prof ha introdotto $C^n(I)={z:I-->RR , EE z',.....,z^n}$ con $z^i$ derivabili e continue. E poi ci ha detto che è uno spazio vettoriale infinito (questo è chiaro!). Mi potreste spiegare bene cosa rappresenta?
Vi ringrazio
Nello studio di un equazione differenziale generale, la prof ha introdotto $C^n(I)={z:I-->RR , EE z',.....,z^n}$ con $z^i$ derivabili e continue. E poi ci ha detto che è uno spazio vettoriale infinito (questo è chiaro!). Mi potreste spiegare bene cosa rappresenta?
Vi ringrazio
Risposte
Cosa rappresenta $C^n(I)$? è l'insieme di come hai giustamente scritto, delle funzioni derivabili $n$-volte in $I$.
Per esempio $cos(x)\in C^k([0,2pi])$ per ogni $k\in NN$ se vuoi un esempio facile...
$|x| !in C^2([-1,1])$, ma $|x|\in C^2([1,2])$...
Per esempio $cos(x)\in C^k([0,2pi])$ per ogni $k\in NN$ se vuoi un esempio facile...
$|x| !in C^2([-1,1])$, ma $|x|\in C^2([1,2])$...
"Lorin":ovviamente intendi "di dimensione infinita", ovvero che non è finitamente generato
è uno spazio vettoriale infinito
Uhm ok...
quindi in conclusione quell'indice $n$ rappresenta quante volte posso derivare quella funzione in un dato intervallo.
E rispetto all'equazione differenziale?!
Io pensavo che tipo fosse lo spazio delle soluzioni di un equazione differenziale....non può essere inteso anche così?!
Per Fioravante:
Si, grazie della precisazione!!!!
quindi in conclusione quell'indice $n$ rappresenta quante volte posso derivare quella funzione in un dato intervallo.
E rispetto all'equazione differenziale?!
Io pensavo che tipo fosse lo spazio delle soluzioni di un equazione differenziale....non può essere inteso anche così?!
Per Fioravante:
Si, grazie della precisazione!!!!
"fu^2":In genere si richiede anche che la derivata sia continua.
Cosa rappresenta $C^n(I)$? è l'insieme di come hai giustamente scritto, delle funzioni derivabili $n$-volte in $I$.
"Lorin":
E rispetto all'equazione differenziale?!
Io pensavo che tipo fosse lo spazio delle soluzioni di un equazione differenziale....non può essere inteso anche così?!
No (anche perche' l'equazione non compare in nessun modo nella definizione) -. E' l'ambiente in cui si cercano le soluzioni - detto altrimenti
lo spazio delle soluzioni e' contenuto in $C^n(I)$
Ah bene....mi piace questa tua definizione "l'ambiente dove si cercano le soluzioni"...grazie...
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