Domandina Infinita ......
Qual'e' piu' grande 3/0 oppure 4/0 ???
Risposte
Quelle due espressioni non sono numeri, quindi non ha senso ordinarli.
gli infiniti sono dello stesso ordine, perchè 3/0 e 4/0 sono modi veloci di scrivere
lim (3/x) e lim (4/x)
x-->0 x-->0
per definizione, se il limite del rapporto di tali funzioni è infinito, allora si dice che 3/x è di ordine superiore a 4/x; dello stesso ordine se il limite è finito non nullo; di ordine inferiore se è nullo.
essendo lim (3/x)/(4/x)=3/4 finito diverso da zero, gli ordini di infinito sono uguali, cioè le funzioni tendono ad infinito con la
x-->0
stessa "velocità".
Puoi facilmente verificare con de l'hospital che i logaritmi sono infiniti di ordine inferiore alle potenze, le quali sono di ordine inferiore agli esponenziali.
Infine, una funzione f(x) si dice infinita di ordine k in x0 se:
1) lim f(x) = inf;
x-->x0
2) il lim f(x)*abs(x-x0)^k è finito diverso da zero.
x-->x0
mentre una funzione f(x) si dice infinti di ordine k all'infinito se:
1) lim f(x) = inf;
x-->inf
2) il lim f(x)/abs(x)^k è finito diverso da zero.
x-->inf
Puoi verificare che:
1) l'ordine di infinito dei polinomi è uguale al grado del polinomio stesso;
2) gli esponenziali e i logaritmi non hanno un ordine di infinito esprimibile con un numero reale;
3) la definizione di ordine superiore, uguale e inferiore non è altro che una naturale conseguenza di quest'ultima.
Sapere a priori gli ordini di infinito delle funzioni serve a risolvere le forme indeterminate 0/0 e inf/inf.
Morale della favola: gli infiniti NON sono tutti uguali.
Ciao, buon lavoro, mys
lim (3/x) e lim (4/x)
x-->0 x-->0
per definizione, se il limite del rapporto di tali funzioni è infinito, allora si dice che 3/x è di ordine superiore a 4/x; dello stesso ordine se il limite è finito non nullo; di ordine inferiore se è nullo.
essendo lim (3/x)/(4/x)=3/4 finito diverso da zero, gli ordini di infinito sono uguali, cioè le funzioni tendono ad infinito con la
x-->0
stessa "velocità".
Puoi facilmente verificare con de l'hospital che i logaritmi sono infiniti di ordine inferiore alle potenze, le quali sono di ordine inferiore agli esponenziali.
Infine, una funzione f(x) si dice infinita di ordine k in x0 se:
1) lim f(x) = inf;
x-->x0
2) il lim f(x)*abs(x-x0)^k è finito diverso da zero.
x-->x0
mentre una funzione f(x) si dice infinti di ordine k all'infinito se:
1) lim f(x) = inf;
x-->inf
2) il lim f(x)/abs(x)^k è finito diverso da zero.
x-->inf
Puoi verificare che:
1) l'ordine di infinito dei polinomi è uguale al grado del polinomio stesso;
2) gli esponenziali e i logaritmi non hanno un ordine di infinito esprimibile con un numero reale;
3) la definizione di ordine superiore, uguale e inferiore non è altro che una naturale conseguenza di quest'ultima.
Sapere a priori gli ordini di infinito delle funzioni serve a risolvere le forme indeterminate 0/0 e inf/inf.
Morale della favola: gli infiniti NON sono tutti uguali.
Ciao, buon lavoro, mys
luca, hai ragione... oltre ad essere dei NaN, 3/0 e 4/0 possono essere anche i limiti di 3/x^2 o elevato a qualunque potenza.
dunque, potendo essere espressioni poco ortodosse di limiti infiniti di qualsiasi ordine, non posso confrontarli.
dunque, potendo essere espressioni poco ortodosse di limiti infiniti di qualsiasi ordine, non posso confrontarli.
Secondo me è sbagliato dire che "3/0 e 4/0 possono essere anche i limiti di 3/x^2 o elevato a qualunque potenza", in quanto, ad esempio, $lim_{x \rightarrow 0} \frac{3}{x^3}$ non esiste.
lim 3/x^3 = 3/0^3 = inf, perchè nn esiste?
x-->0
x-->0
rispondo per Tipper, sperando di fregarlo sul tempo 
Il limite è "infinito senza segno", che ha uno "statuto" inferiore agli altri limiti.
E così c'è chi si spinge, come per l'appunto fa Tipper, fino a negargli il diritto di esistere...
In ogni caso sono limiti da trattare con attenzione, perché non si comportano bene rispetto alla struttura dei numeri reali
Il limite è "infinito senza segno", che ha uno "statuto" inferiore agli altri limiti.
E così c'è chi si spinge, come per l'appunto fa Tipper, fino a negargli il diritto di esistere...
In ogni caso sono limiti da trattare con attenzione, perché non si comportano bene rispetto alla struttura dei numeri reali
"Fioravante Patrone":
rispondo per Tipper, sperando di fregarlo sul tempo
Il limite è "infinito senza segno", che ha uno "statuto" inferiore agli altri limiti.
E così c'è chi si spinge, come per l'appunto fa Tipper, fino a negargli il diritto di esistere...
In ogni caso sono limiti da trattare con attenzione, perché non si comportano bene rispetto alla struttura dei numeri reali
Eh già, fregato sul tempo!
beh, nell'insieme dei complessi si può andare all'infinito lungo qualsiasi direzione esprimibile con un numero reale compreso tra -pigreco e pigreco, ma la letteratura in merito è solita esprimere il limite per z ke va a infinito senza nessun segno, per dire z molto molto lontano dall'origine del piano complesso.
in tal senso, immagino l'insieme dei complessi nn come un piano, ma come una superficie sferica di raggio infinito sulla quale fisso il punto immagine dello zero. l'immagine di infinito è diametralmente opposta allo zero, ivi si ricongiungono gli infiniti di tutte le direzioni. è come se "arrotolassi" il piano congiungendone le "estremità" in un solo punto.
tornando ai reali, posso considerare, invece della retta, una circonferenza di raggio infinito dove, fissato lo zero, l'infinito è diametralmente opposto. nn ho fatto altro che "storcere" la retta reale per ricongiungere le "estremità" più infinito e meno infinito.
in questo modo vi faccio notare che più e meno infinito non sono altro che gli intorni destro e sinistro dell'unico infinito esistente, dunque, nn ci deve + sorprendere ke una funzione così "liscia" come 1/x abbia una così pesante discontinuità in zero tra i due intorni laterali: in realtà i due rami dell'iperbole equilatera si congiungono in un punto infinitamente lontano, cioè quello diametralmente opposto allo zero su una sfera gigante che localmente ci sembra il nostro piano cartesiano. 1/x diventa dunque continua in zero, e vale infinito, aggiungendo l'infinito all'insieme dei reali. Anke Cristoforo Colombo aveva intuito che la Terra nn era piatta, ma sembra tale perkè è enorme, e localmente i nostri okki la approssimano al piano tangente; l'ammiraglio genovese, però, notò ke le navi PIUTTOSTO LONTANE "sprofondavano" in basso in vece di rimanere visibili. I rami dell'iperbole sono due navi ke vanno uno verso nord e uno verso sud: la regina Isabella d'Aragona avrebbe detto che non si sarebbero viste mai più, mentre per Colombo si erano date appuntamento agli antipodi. Guardacaso, questo è anke il modello del piano ellittico di Riemann!
Immagino l'obiezione: ho distrutto le strutture algebriche trasformando le semirette in segmenti, confondendo i positivi e i negativi.
Infatti: dove, purtroppo, regna l'apartheid, i cittadini di colore sono relegati alla parte posteriore dell'autobus, mentre i bianchi si sistemano in quella anteriore. Allora i bambini neri nn potrebbero salire sulle giostre: essendo rotonde, qual è la parte superiore? Eraclito diceva che i due estremi della corda (+ e - infinito, quelli veri per gli algebristi), tirati, producono un'unico suono bello e armonioso (l'infinito unico, quello vero per gli analisti). Parmenide dirà che ciò che possiamo pensare è l'essere, mentre quello ke nn pensiamo è il nn essere. Dato ke possiamo pensare al non essere, però, il non essere diventa essere, e sono dunque la stessa cosa! Proprio come i due infiniti reali!!!
Il mio bravissimo prof di mat del biennio, spiegando la regola di leibniz-cramer per risolvere i sistemi di primo grado, disse, riferendosi a lebiniz, ke i migliori matematici sono tutti filosofi, e viceversa (condizione necessaria e sufficiente!!!)
Dovrei esserne fiero, visto ke ho trattato l'infinito come l'essere!!!
Bene, concludo questo spokkioso papiro formalizzando con delle formule la trasformazione da sfera infinita in piano, trasformando la longitudine fi che varia da -pi a pi e la colatitudine theta che varia da 0 a pi nell'ascissa x e l'ordinata y:
tg(theta/2)=sqrt(x^2+y^2); tg(fi)=(y/x).
Non a caso la tangente trigonometrica ha la splendida proprietà (vedi la VERA definizione) di abbinare circonferenze a segmenti, nonchè di trasformare intervalli limitati in illimitati.
Fisica: la relatività generale einsteiniana parla di deformazioni dello spazio introdotte dalle masse, dando una rivoluzionaria interpretazione del concetto di forza gravitazionale. Io mi sono limitato a deformare un piano in una superficie sferica.
Vi ringrazio... infinitamente della pazienza, ma l'anima di un matemaniaco come me si sazia solo così.
in tal senso, immagino l'insieme dei complessi nn come un piano, ma come una superficie sferica di raggio infinito sulla quale fisso il punto immagine dello zero. l'immagine di infinito è diametralmente opposta allo zero, ivi si ricongiungono gli infiniti di tutte le direzioni. è come se "arrotolassi" il piano congiungendone le "estremità" in un solo punto.
tornando ai reali, posso considerare, invece della retta, una circonferenza di raggio infinito dove, fissato lo zero, l'infinito è diametralmente opposto. nn ho fatto altro che "storcere" la retta reale per ricongiungere le "estremità" più infinito e meno infinito.
in questo modo vi faccio notare che più e meno infinito non sono altro che gli intorni destro e sinistro dell'unico infinito esistente, dunque, nn ci deve + sorprendere ke una funzione così "liscia" come 1/x abbia una così pesante discontinuità in zero tra i due intorni laterali: in realtà i due rami dell'iperbole equilatera si congiungono in un punto infinitamente lontano, cioè quello diametralmente opposto allo zero su una sfera gigante che localmente ci sembra il nostro piano cartesiano. 1/x diventa dunque continua in zero, e vale infinito, aggiungendo l'infinito all'insieme dei reali. Anke Cristoforo Colombo aveva intuito che la Terra nn era piatta, ma sembra tale perkè è enorme, e localmente i nostri okki la approssimano al piano tangente; l'ammiraglio genovese, però, notò ke le navi PIUTTOSTO LONTANE "sprofondavano" in basso in vece di rimanere visibili. I rami dell'iperbole sono due navi ke vanno uno verso nord e uno verso sud: la regina Isabella d'Aragona avrebbe detto che non si sarebbero viste mai più, mentre per Colombo si erano date appuntamento agli antipodi. Guardacaso, questo è anke il modello del piano ellittico di Riemann!
Immagino l'obiezione: ho distrutto le strutture algebriche trasformando le semirette in segmenti, confondendo i positivi e i negativi.
Infatti: dove, purtroppo, regna l'apartheid, i cittadini di colore sono relegati alla parte posteriore dell'autobus, mentre i bianchi si sistemano in quella anteriore. Allora i bambini neri nn potrebbero salire sulle giostre: essendo rotonde, qual è la parte superiore? Eraclito diceva che i due estremi della corda (+ e - infinito, quelli veri per gli algebristi), tirati, producono un'unico suono bello e armonioso (l'infinito unico, quello vero per gli analisti). Parmenide dirà che ciò che possiamo pensare è l'essere, mentre quello ke nn pensiamo è il nn essere. Dato ke possiamo pensare al non essere, però, il non essere diventa essere, e sono dunque la stessa cosa! Proprio come i due infiniti reali!!!
Il mio bravissimo prof di mat del biennio, spiegando la regola di leibniz-cramer per risolvere i sistemi di primo grado, disse, riferendosi a lebiniz, ke i migliori matematici sono tutti filosofi, e viceversa (condizione necessaria e sufficiente!!!)
Dovrei esserne fiero, visto ke ho trattato l'infinito come l'essere!!!
Bene, concludo questo spokkioso papiro formalizzando con delle formule la trasformazione da sfera infinita in piano, trasformando la longitudine fi che varia da -pi a pi e la colatitudine theta che varia da 0 a pi nell'ascissa x e l'ordinata y:
tg(theta/2)=sqrt(x^2+y^2); tg(fi)=(y/x).
Non a caso la tangente trigonometrica ha la splendida proprietà (vedi la VERA definizione) di abbinare circonferenze a segmenti, nonchè di trasformare intervalli limitati in illimitati.
Fisica: la relatività generale einsteiniana parla di deformazioni dello spazio introdotte dalle masse, dando una rivoluzionaria interpretazione del concetto di forza gravitazionale. Io mi sono limitato a deformare un piano in una superficie sferica.
Vi ringrazio... infinitamente della pazienza, ma l'anima di un matemaniaco come me si sazia solo così.
Immagino l'obiezione: ho distrutto le strutture algebriche trasformando le semirette in segmenti, confondendo i positivi e i negativi.
Esatto, oltre che la struttura algebrica viene "rotta" anche quella di ordine di $R$.
Questo può essere fastidioso o no a seconda di quello che uno ci deve fare...
Per il resto, è la prima volta che sento proporre la compattificazione di Alexandrof come strumento per combattere l'apartheid...
ciao, matemaniaco!
scusatemi per l' "un'unico" con l'apostrofo... evidentemente volevo scrivere un sostantivo femminile, poi ho cambiato col maschile e mi sono dimenticato di levarlo: sarà vero ke noi matematici siamo così distratti!
nn sapevo, caro prof, nè dell'esistenza di Alexandrof, nè ke avesse parlato di compattificazione. ho anke l'impressione freudiana di aver sognato un tale colloquio di notte!
eureka! insiemi compatti, teorema di Weierstrass!
Le funzioni continue trasformano intervalli compatti in intervalli compatti; ora ti avvaloro la tesi della rinuncia alla relazione d'ordine di R.
Compattizzo secondo Alexandrof un intervallo illimitato, lo trasformo, mediante una funzione continua come ci insegna Karl, in un altro intervallo compatto ma, stavolta, compatto secondo Alexandrof: la funzione assume massimo e minimo, che, grazie alla nuova analisi di tale matematico, potrebbero anche essere infiniti. Non percepiamo più la differenza tra illimitato e limitato, ormai gli intervalli sono tutti compatti! Questo perchè è venuta meno la relazione d'ordine attraverso la quale definiamo insiemi limitati o illimitati.
Giusto?
eureka! insiemi compatti, teorema di Weierstrass!
Le funzioni continue trasformano intervalli compatti in intervalli compatti; ora ti avvaloro la tesi della rinuncia alla relazione d'ordine di R.
Compattizzo secondo Alexandrof un intervallo illimitato, lo trasformo, mediante una funzione continua come ci insegna Karl, in un altro intervallo compatto ma, stavolta, compatto secondo Alexandrof: la funzione assume massimo e minimo, che, grazie alla nuova analisi di tale matematico, potrebbero anche essere infiniti. Non percepiamo più la differenza tra illimitato e limitato, ormai gli intervalli sono tutti compatti! Questo perchè è venuta meno la relazione d'ordine attraverso la quale definiamo insiemi limitati o illimitati.
Giusto?
"mysterium":
gli infiniti sono dello stesso ordine, perchè 3/0 e 4/0 sono modi veloci di scrivere
lim (3/x) e lim (4/x)
x-->0 x-->0
ma se invece fossero modi 'veloci' per scrivere
$lim_{x\to0} (3/x^3) $ e $lim_{x\to0} (4/x^4) $
Io propendo a credere che siano modi veloci per scrivere cose senza senso, sulla cui uguaglianza, quindi, si può dire ben poco ..... a meno che accumulandole come cose ugualmente insensate non vogliamo dire che coincidono
ciao
@mirco59
personalmente concordo
ciao
personalmente concordo
ciao
leggete infatti la mia autobiezione. so riconoscere i miei errori! 
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo