Domande teoriche sul polinomio di Taylor
Ciao, ci sono due argomenti riguardo il polinomio di Taylor che il mio prof ha messo nel suo programma:
1) "polinomio di taylor della derivata";
2) "unicità del polinomio di Taylor".
Il libro non ne parla, cioè, parla solo della formula generale, dunque, qualcuno di voi sa dove posso trovare questi argomenti con le relative dimostrazioni? Grazie mille
1) "polinomio di taylor della derivata";
2) "unicità del polinomio di Taylor".
Il libro non ne parla, cioè, parla solo della formula generale, dunque, qualcuno di voi sa dove posso trovare questi argomenti con le relative dimostrazioni? Grazie mille
Risposte
Ciao, allora, riguardo il primo punto, penso che devo dimostrare che, presa la formula di Taylor, il valore del polinomio in $x_0$ è uguale al valore della funzione in $x_0$, il valore della derivata prima del polinomio in $x_0$ è uguale al valore della derivata prima della funzione in $x_0$, e così via. Per dimostrare ciò, basta che faccio i conti, giusto?
Allora, volevo chiedervi una cosa sulla dimostrazione della formula di Taylor con resto secondo Lagrange.
Dopo aver applicato de l'Hopital $n-1$ volte, mi ritrovo con questa espressione: $lim x->x_0$ $(f^(n-1)(x)-(T_n)^(n-1)(x))/(n!(x-x_0))$.
Quest'ultima formula, ce l'ho riscritta come: $lim x->x_0$ $(f^(n-1)(x)-{(T_n)^(n-1)(x_0)+(T_n)^n(x_0)(x-x_0))}/(n!(x-x_0))$. Non ho capito perchè si riscrive in questo modo. Grazie
Dopo aver applicato de l'Hopital $n-1$ volte, mi ritrovo con questa espressione: $lim x->x_0$ $(f^(n-1)(x)-(T_n)^(n-1)(x))/(n!(x-x_0))$.
Quest'ultima formula, ce l'ho riscritta come: $lim x->x_0$ $(f^(n-1)(x)-{(T_n)^(n-1)(x_0)+(T_n)^n(x_0)(x-x_0))}/(n!(x-x_0))$. Non ho capito perchè si riscrive in questo modo. Grazie
ciao, qualcuno può aiutarmi nell'ultima domanda?
up
up
Basta fare i conti:
$T_n^{(n-1)}(x) = f^{(n-1)}(x_0) + f^{(n)}(x_0) (x-x_0) = T_n^{(n-1)}(x_0) + T_n^{(n)}(x_0) (x-x_0)$.
$T_n^{(n-1)}(x) = f^{(n-1)}(x_0) + f^{(n)}(x_0) (x-x_0) = T_n^{(n-1)}(x_0) + T_n^{(n)}(x_0) (x-x_0)$.
"Rigel":
Basta fare i conti:
$T_n^{(n-1)}(x) = f^{(n-1)}(x_0) + f^{(n)}(x_0) (x-x_0) = T_n^{(n-1)}(x_0) + T_n^{(n)}(x_0) (x-x_0)$.
Ciao, quello che non ho capito è perchè è vero quello che hai scritto tu. Ti ringrazio.
E' vero per definizione di $T_n$; scriviti $T_n$, derivalo quanto serve e verifica l'identità di cui al precedente post.
Se hai difficoltà a gestire le sommatorie, scrivi ad esempio per esteso $T_4$ e vedi cosa succede.
Se hai difficoltà a gestire le sommatorie, scrivi ad esempio per esteso $T_4$ e vedi cosa succede.
Allora, io so che dire "polinomio di Taylor di ordine $n$", cioè scrivere $T_n(x)$, significa sommare un tot di $n$ derivate moltiplicate per $(x-x_0)^n$ (scusa la definizione molto imprecisa). Quindi, non riesco a capire come il polinomio di Taylor $(T_n)^(n-1)$ è uguale a quello che hai scritto. Per definizione, come dici, non dovrebbe equivalere soltanto a $f^(n-1)(x_0)$?
$T_n$ è un polinomio di grado $n$. Se lo derivo $(n-1)$ volte otterrò in generale un polinomio di primo grado, non una costante, no?
Perché non ti scrivi per esteso $T_4$, come ti ho già detto, e lo derivi $3$ volte?
Perché non ti scrivi per esteso $T_4$, come ti ho già detto, e lo derivi $3$ volte?
Allora, come mi hai detto tu, sia $T_4(x)$ un polinomio di Taylor di ordine 4. Lo derivo una volta: $(T_4)'(x)=f'(x_0)+f^2(x_0)(x-x_0)+f^3(x_0)(x-x_0)^2+f^4(x_0)(x-x_0)^3$.
Lo derivo per la seconda volta: $(T_4(x))''=f''(x_0)+2f^3(x_0)(x-x_0)+3f^4(x_0)(x-x_0)^2$.
Lo derivo ancora ed ottengo: $(T_4(x))^3=2f^3(x_0)+6f^4(x_0)(x-x_0)$. Ora?
Lo derivo per la seconda volta: $(T_4(x))''=f''(x_0)+2f^3(x_0)(x-x_0)+3f^4(x_0)(x-x_0)^2$.
Lo derivo ancora ed ottengo: $(T_4(x))^3=2f^3(x_0)+6f^4(x_0)(x-x_0)$. Ora?
Ehm, ti sarai mica perso qualche fattoriale nella definizione di $T_4$ per caso?
Partendo dall'espressione corretta saresti arrivato a
$T_4^{(3)}(x) = f^{(3)}(x_0) + f^{(4)}(x_0) (x-x_0)$.
Partendo dall'espressione corretta saresti arrivato a
$T_4^{(3)}(x) = f^{(3)}(x_0) + f^{(4)}(x_0) (x-x_0)$.
"Rigel":
Ehm, ti sarai mica perso qualche fattoriale nella definizione di $T_4$ per caso?
Partendo dall'espressione corretta saresti arrivato a
$T_4^{(3)}(x) = f^{(3)}(x_0) + f^{(4)}(x_0) (x-x_0)$.
Già, hai ragione...oggi non connetto tanto
, quindi mi sembra che siamo arrivati alla soluzione no?
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