Domande teoriche, esercizi teorici

[timeout1]

Buona sera a tutti,

volevo chiedervi ancora aiuto riguardo ai seguenti due esercizi nei quali ho trovato difficolta' a risolvere:

ESERCIZIO 1

Data una funzione f(x) continua e positiva in un intervallo [a,b] estremi compresi e una funzione g(x) definita in [a,b] anch'essa con estremi compresi tale che g(x) sia:
-g(x)<0 per c -g(x)>0 per a
Domanda:

La funzione g(x)f(x) presenta in [a,b] estremi compresi alemeno uno zero? e' richiesta la dimostrazione della risposta

ESERCIZIO 2

Data la seguente funzione f(x)=((x^2)-1) dire se le funzioni |((x^2)-1)| e (|((x^2)-1)|)^2 presentano cuspidi e punti angolosi e dimostrare il motivo della risposta.

Grazie per le risposte anticipatamente, Diego

[david_e1]

"timeout":ESERCIZIO 1

Data una funzione f(x) continua e positiva in un intervallo [a,b] estremi compresi e una funzione g(x) definita in [a,b] anch'essa con estremi compresi tale che g(x) sia:
-g(x)<0 per c -g(x)>0 per a
Domanda:

La funzione g(x)f(x) presenta in [a,b] estremi compresi alemeno uno zero? e' richiesta la dimostrazione della risposta

Ovviamente l'affermazione é falsa. Basta prendere $f(x)=1$ (continua e positiva) e per $g$:

$ g(x) = {(-1 \qquad c
ora $f(x)g(x)=g(x)$ ma $g(x)$ non ha alcuno zero in $[a,b]$.

L'affermazione diventa vera per il th di Bolzano se si aggiunge l'ipotesi che $g(\cdot)$ sia continua.

[Camillo]

Esercizio 2

La funzione $ |x^2-1| $ vale :

$x^2-1 $ per $ x >=1 , x<= -1 $ con derivata $f'(x) = 2x $
$1-x^2 $ per $ -1<= x<= 1 $ con derivata $ f'(x) = -2x $
Quindi i punti $ x= 1 , x= -1 $ sono punti angolosi in quanto :
in $x=1 $ la derivata destra vale 2 , mentre la derivata sinistra vale -2.
in $x = -1 $ la derivata destra vale 2, mentre la derivata sinistra vale -2.

La funzione $ | x^2-1|^2 $ vale , su tutto l'asse reale : $ x^4-2x^2+1 $ ed è sempre derivabile , non ha punti angolosi ma ha 2 minimi in $x= 1 , x=-1 $ e un massimo in $ x = 0 $ .

Camillo

[timeout1]

grazie delle tempestive e precise risposte, veramente grazie

[Camillo]

Ecco i relativi grafici .




Camillo