Domande teoriche analisi 1

[DigYourOwnHole]

Sia f : R -> R monotona. Sia $ g(x) = |f(x)| $
Allora:
A- g e monotona in tutto R
B- esiste a appartenente a R tale che g e monotona in [a; + $ oo $ )
C- g non e monotona in tutto R
D- g e continua in tutto R

Bene so già che la risposta esatta è la B ma non riesco ad arrivarci...
Utilizzo la definizione di monotonia che dice che se per ogni x2>x1 allora f(x2)>f(x1) la funzione è monotona crescente, per ogni x2 Ricordo la funzione modulo che fa si che:
$ { ( -f(x) per f(x)<0),(f(x) per f(x)>0):} $

Detto questo non mi è molto chiaro perché la risposta giusta sia la B, io pensavo a tutte tranne la B

[gio73]

"DigYourOwnHole":
Ricordo la funzione modulo che fa si che:
$ { ( -f(x) per x<0),(f(x) per x>0):} $

Proviamo a fare qualche esempio per chiarirci le idee

poniamo
$f(x)=x$
di conseguenza
$g(x)=|x|$
e come hai detto tu la possiamo dividere in

$ { (g(x)= -f(x) if x<0),(g(x)=f(x) if x>=0):} $

ma se
$f(x)=x+1$
allora
$g(x)=|x+1|$
e la dividiamo

$ { (g(x)= -f(x) if x<-1),(g(x)=f(x) if x>=-1):} $

isn't it?

[Zero87]

Ciao, proviamo a ragionare.

Per la $D$ non so cosa dire. Tu non hai scritto in partenza che $f$ sia continua: suppongo che lo sia e in questo caso la $D$ la escludiamo.

Analizzale tutte e tre.

Prendiamo la A.
Hai scritto la definizione di modulo - tra l'altro va corretta (ho visto facendo l'anteprima che te l'ha segnalato anche gio73) - , di mio posso suggerirti di ricordare che "monotona" non è detto che abbia lo stesso segno ($f(x)=e^x$ è una piacevole eccezione, non è la norma ). Puoi tenere a mente $f(x)=x$ se ti fa piacere e, magari, vedere cosa succede mettendo su un bel modulo.

Prendiamo la B.
Se $f$ è monotòna non è detto che abbia sempre lo stesso segno e questo è appurato. Però...
Non aggiungo altro perché una parola in più e davvero qui scrivo la soluzione: meglio che ci arrivi tu, no?

Prendiamo la C.
La C va paragonata al "non è detto che una funzione monotona abbia sempre lo stesso segno".

Ho fatto l'anteprima e ho visto la risposta di gio73 - che saluto - praticamente contemporanea a questa.

[DigYourOwnHole]

Ciao ragazzi, per la definizione di modulo avevo sbagliato infatti avevo editato dopo, diciamo che ora che Zero mi spiegato un po' il "gioco" è tutto più chiaro.
Ora stavo provando a risolvere quest'altro quesito:

Sia f appartenente a $ C^0 $ ([a; b]) tale che f(x) >=0 e $ int_(a)^(b) f(x) dx =0 $ per ogni x appartenente a [a; b] .
Allora f(x) = 0 per ogni x appartenente a [a; b].

VERO o FALSO?
_______

C^0 significa che la funzione è continua in [a, b], in questo intervallo la funzione è >=0 e l'integrale con estremi gli intervalli della funzione è uguale a 0, ora la domanda è capire se per ogni x appartenente all'intervallo chiuso [a, b] la funzione si annulli, onestamente mi sembra falsa ma invece è vera
Se prendo per esempio la funzione $ f(x)=x $ nell'intervallo [a, b] = [0, 1] e faccio l'integrale vedo subito che non è la funzione giusta