DOmande successioni e/o limiti

[starsuper]

Salve a tutti , mentre studiavo sono incappato in un dubbio.
Che differenza c'è tra una succ. limitata e una successione regolare?
Si dice regolare quando $lim$ an = l (con l=inf o l=c), ma allora quando è limitata?

Analogamente, visto che non ho chiarissimo il concetto di successione(vedi perplessità espressa sopra), come si definisce un limite?
CI sono centinaia di definizione in rete, ma purtroppo non capisco molto bene il discorso dell intorno (a-epsilon
Magari sono cose banali, ma non per tutti .


Grazie

[nolimits1]

un esempio di successione limitata è la seguente sen(n) che è superiormente limitata da 1 e inferiormente da -1 ma non ha limite per n che va all'infinito (assume tutti i valori comresi fra -1 e 1)
Ciao
Nolimits

[starsuper]

Ma sen(n) sarebbe limitata perche Im sen(n) è -1

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[nolimits1]

non so se una successione convergente si dice regolare però la successione si dice limitata proprio perchè l'immagine della funzione seno è compresa fra -1 e 1.
Ogni successione convergente a un limite finito è definitivamente (ovvero da un certo n in poi, anche molto grande), è limitata ma non è vero che ogni successione limitata sia convergente.

[starsuper]

ad esempio: $an$=$(-1)^n $, la successione è limitata? si tra 1 e -1 ( è oscillante) , ma non è regolare (non esiste il limite!), giusto?

[nolimits1]

esatto

[starsuper]

Ma quindi , in teoria dovrebbero essere poche le successioni limitate!?!? no?

Per quanto riguarda l'altra domanda sui limiti ?

[starsuper]

"Sergio":

Senza dimenticare le successioni costanti, del tipo $a_n=k$, che però sono anche regolari (convergenti - a $k$).

MA in questo caso, non sarebbe una successione, o sbaglio?

$an$=8 , non è una successione, a parer mio non risptta la definizione legittima di successione.


Magari ho detto una boiata .

"Sergio":


esiste un naturale Nɛ (dipendente da ɛ) tale che, per ogni n≥Nɛ, il valore assoluto della differenza tra an e L (la "distanza" tra an e L) è minore di ɛ.

è qui che non riesco a capire.


il nostro L, deve essere compreso in un qualsiasi intorno, quindi: a-$e$
Concettualmente ci sono, ma non riesco ad afferrare pienamente..!

[ViciousGoblin]

"starsuper":

MA in questo caso, non sarebbe una successione, o sbaglio?

$an$=8 , non è una successione, a parer mio non risptta la definizione legittima di successione.


Magari ho detto una boiata .

eeehm....

$a_n=8$ per ogni $n$ e' un' onesta (e legittima) successione. Un po' stupida forse, visto che qualunque indice tu gli dai ti risponde sempre "otto".

Insomma una successione e' una scatoletta che ad ogni input intero risponde con un numero reale - tu che idea ne avevi ?

[regim]

"starsuper": .

[quote="Sergio"]
esiste un naturale Nɛ (dipendente da ɛ) tale che, per ogni n≥Nɛ, il valore assoluto della differenza tra an e L (la "distanza" tra an e L) è minore di ɛ.

è qui che non riesco a capire.
il nostro L, deve essere compreso in un qualsiasi intorno, quindi: a-$e$ Concettualmente ci sono, ma non riesco ad afferrare pienamente..! ops
[/quote]

Definizione alternativa equivalente(normalmente é data come teorema, non come definizione):
L é il limite quando ogni suo intorno lascia fuori al piú un numero finito di termini della successione

[piero_1]

$EE Nɛ in NN$ (dipendente da ɛ) tale che, per ogni n≥Nɛ, il valore assoluto della differenza tra an e L (la "distanza" tra an e L) è minore di ɛ.
Starsuper
Prova a "visualizzare" con un grafico.
Traccia una successione e una retta parallela all'asse x
$ y=L$
e altre due parallele:
$y=L-epsilon$
$y=L+epsilon$
noterai che da un certo valore $Nepsilon$ (preso sull'asse x) in poi la tua successione se ne sta compresa nella "strisciolina" delimitata da $y=L-epsilon$
e $y=L+epsilon$

[starsuper]

Grazie delle spiegazioni!


1)Vi chiedo adesso, però, data la successione $an$=$(n+2)/(2n)$, il lim L per n->infinito è 1/2, quindi secondo le definzione avremo $1/2-eps$


2) Vi chiedo inotre: perche una successoine è una legge che ad ogni naturale, corrisponde un reale?

E.G.

$an=n+1$, se n=1---> $an=2$ ( per esempio)

ma io posso anche $an=n+1$, se n=1.5---> $an=2.5$ ( per esempio), ma in questo caso n è reale

[piero_1]

"starsuper":

ma io posso anche $an=n+1$, se n=1.5---> $an=2.5$ ( per esempio), ma in questo caso n è reale

Infatti. non dimenticare che agli n della tua successione puoi dare solo valori appartenenti ai Naturali, dunque non $n=1.5$.
era questo il dubbio?