Domande su integrali con i residui e singolarità
Salve,
leggo il forum da un po' ma non ho mai scritto prima d'ora.
Ho qualche difficoltà a capire come si calcolano gli integrali con il metodo dei residui quando ci sono singolarità lungo il cammino di integrazione.
L'idea che mi sembra venga fuori è quella di costruire un cammino intorno alle singolarità e fare tendere il raggio dell'intorno che contiene la singolarità a zero. Calcolarne quindi il valore attraverso i lemmi del grande e del piccolo cerchio e di jordan.
A livello pratico mi perdo un po'; ad esempio:
$int_-oo^oo (sin(pi * x) + sin ( 3 * pi * x)) / (x * (2x - 1)) dx$
l'idea è quella di considerare la funzione f(z) = $( e^(i * pi * z) + e^( i * 3 * pi * z) ) / (z * (2z - 1) ) $
in modo che Im( f(x) ) = $(sin(pi * x) + sin ( 3 * pi * x)) / (x * (2x - 1)) $
La funzione ha due radici : una in z = 0 e una in z = 1/2.
1) Prima domanda:
devo stabilire se si tratta di:
un polo
una singolarità eliminabile
una singolarità essenziale
Mi sembra di capire che
è un polo se il $lim_{z->z0} f(z)= oo$
è un singolarità eliminabile se $lim_{z->z0} f(z)= l$ dove l = numero
è un singolarità essenziale se $lim_{z->z0} f(z)=$ non esiste
Ma che implicazioni ha tutto ciò sulla procedura che devo applicare per calcolare questo integrale?
Secondo quanto ho scritto (se è corretto) z0 sarebbe una singolarità essenziale (ma non posso applicare de l'hospital ?) e z1 sarebbe una singolarità eliminabile.
2) Seconda domanda:
La situazione che ho è la seguente:
Ma a questo punto mi blocco e non riesco a capire lungo quale percorso devo integrare.
Mi sembra di capire che dovrei calcolare:
$int_ G f(z) dz + int_ -R^(z0-r) f(z) dz - int_ (C1) f(z) dz + int_ (z0+r)^(z1-r) f(z) dz - int_ (C2) f(z) dz + int_ (z1+r)^(R) f(z) dz = 0$
Ma poi non so quale diventa il mio integrale da calcolare....
Mi viene il dubbio che non abbia capito bene la relazione tra l'integrale lungo G e gli altri integrali, e purtroppo nei libri che ho non riesco a trovare qualcosa che me lo chiarisca...
La mia prof lo fa diversamente: sfutta un lemma che dice che se f è analitica in un intorno forato dell'origine ed ha in tale punto (l'origine) un polo semplice, allora:
$lim_ {r->0} int_ (G) f(z) dz = i * pi * Res(f,0)$ che in questo caso vale -2.
Ma z0 non è una singolarità essenziale? Questo lemma non dovrebbe valere solamente per i poli?
Poi si calcola il residuo in Z1 ( uguale a 0 in questo caso) e applica il piccolo cerchio su C2 ( e viene ancora 0).
Allora dice che il valore principale di $int_-oo^oo (sin(pi * x) + sin ( 3 * pi * x)) / (x * (2x - 1)) dx = - lim_ {R->oo} int_ G f(z) dz + lim_ {r->0} int_ (C1) f(z) dz + lim_ {r->0} int_ (C2) f(z) dz = -2 * pi * i$
Come fa a dire che il primo integrale è uguale agli altri 3 ?
Dove sono finiti i tre pezzettini [-R ; z0-r] [z0+r ; z1-r] [z1+r ; R] ??
(Mentre scrivo sono sempre più convinto di non aver capito affatto la relazione tra gli integrali)
2) Terza domanda:
Cosa sarebbe cambiato se ad esempio z0 e z1 fossero stati due poli / due singolarità essenziali / due singolarità eliminabili?
Scusate la complessità del post, ma mi sembrava l'unico modo per togliermi questi dubbi.
Grazie mille.
leggo il forum da un po' ma non ho mai scritto prima d'ora.
Ho qualche difficoltà a capire come si calcolano gli integrali con il metodo dei residui quando ci sono singolarità lungo il cammino di integrazione.
L'idea che mi sembra venga fuori è quella di costruire un cammino intorno alle singolarità e fare tendere il raggio dell'intorno che contiene la singolarità a zero. Calcolarne quindi il valore attraverso i lemmi del grande e del piccolo cerchio e di jordan.
A livello pratico mi perdo un po'; ad esempio:
$int_-oo^oo (sin(pi * x) + sin ( 3 * pi * x)) / (x * (2x - 1)) dx$
l'idea è quella di considerare la funzione f(z) = $( e^(i * pi * z) + e^( i * 3 * pi * z) ) / (z * (2z - 1) ) $
in modo che Im( f(x) ) = $(sin(pi * x) + sin ( 3 * pi * x)) / (x * (2x - 1)) $
La funzione ha due radici : una in z = 0 e una in z = 1/2.
1) Prima domanda:
devo stabilire se si tratta di:
un polo
una singolarità eliminabile
una singolarità essenziale
Mi sembra di capire che
è un polo se il $lim_{z->z0} f(z)= oo$
è un singolarità eliminabile se $lim_{z->z0} f(z)= l$ dove l = numero
è un singolarità essenziale se $lim_{z->z0} f(z)=$ non esiste
Ma che implicazioni ha tutto ciò sulla procedura che devo applicare per calcolare questo integrale?
Secondo quanto ho scritto (se è corretto) z0 sarebbe una singolarità essenziale (ma non posso applicare de l'hospital ?) e z1 sarebbe una singolarità eliminabile.
2) Seconda domanda:
La situazione che ho è la seguente:
Ma a questo punto mi blocco e non riesco a capire lungo quale percorso devo integrare.
Mi sembra di capire che dovrei calcolare:
$int_ G f(z) dz + int_ -R^(z0-r) f(z) dz - int_ (C1) f(z) dz + int_ (z0+r)^(z1-r) f(z) dz - int_ (C2) f(z) dz + int_ (z1+r)^(R) f(z) dz = 0$
Ma poi non so quale diventa il mio integrale da calcolare....
Mi viene il dubbio che non abbia capito bene la relazione tra l'integrale lungo G e gli altri integrali, e purtroppo nei libri che ho non riesco a trovare qualcosa che me lo chiarisca...
La mia prof lo fa diversamente: sfutta un lemma che dice che se f è analitica in un intorno forato dell'origine ed ha in tale punto (l'origine) un polo semplice, allora:
$lim_ {r->0} int_ (G) f(z) dz = i * pi * Res(f,0)$ che in questo caso vale -2.
Ma z0 non è una singolarità essenziale? Questo lemma non dovrebbe valere solamente per i poli?
Poi si calcola il residuo in Z1 ( uguale a 0 in questo caso) e applica il piccolo cerchio su C2 ( e viene ancora 0).
Allora dice che il valore principale di $int_-oo^oo (sin(pi * x) + sin ( 3 * pi * x)) / (x * (2x - 1)) dx = - lim_ {R->oo} int_ G f(z) dz + lim_ {r->0} int_ (C1) f(z) dz + lim_ {r->0} int_ (C2) f(z) dz = -2 * pi * i$
Come fa a dire che il primo integrale è uguale agli altri 3 ?
Dove sono finiti i tre pezzettini [-R ; z0-r] [z0+r ; z1-r] [z1+r ; R] ??
(Mentre scrivo sono sempre più convinto di non aver capito affatto la relazione tra gli integrali)
2) Terza domanda:
Cosa sarebbe cambiato se ad esempio z0 e z1 fossero stati due poli / due singolarità essenziali / due singolarità eliminabili?
Scusate la complessità del post, ma mi sembrava l'unico modo per togliermi questi dubbi.
Grazie mille.
Risposte
Ciao...scusa ma potrei anche sbagliarmi...Comunque mi sembra che entrambe le radici del denominatore siano poli di ordine 1. Inoltre si può applicare De L'Hospital per ottenere tale risultato.
Spiegare il tutto qui temo non sia possibile...
Cmq ho calcolato l'integrale e a me torna (il risultato che hai dato te temo sia errato in quanto non può tornare un valore complesso):
$int _-oo^oo (sin(pix)+sin(3pix))/(x(2x-1))dx=-2pi$
Per calcolarlo ho considerato la funzione $f(z)=1/(2i)(e^(ipiz)-e^(-ipiz)+e^(i3piz)-e^(-i3piz))/(z(2z-1)$ (ho scritto i seni con la formula di Eulero)
La f(z) ha due poli semplici: uno in $z_1=0$ e l'altro in $z_2=1/2$.
A questo punto va sfruttata la seguente formula:
$int_ -oo^oo f(x)/(x-x_0)dx = 2pii*sum(1/2f(x_0)+$residui sul semipiano superiore$)$ nel caso tu aggiri il polo reale $x_0$ con un semicerchio nel semipiano superiore
oppure
$int_ -oo^oo f(x)/(x-x_0)dx = 2pii*sum(-1/2f(x_0)+$residui sul semipiano inferiore$)$ nel caso tu aggiri il polo reale $x_0$ con un semicerchio nel semipiano inferiore
quindi hai bisogno di riscrivere la tua funzione nella forma $f(x)/(x-x_0)
$1/(2i)int_ -oo^oo -e^(ipix)/x+e^(ipix)/(x-1/2)+e^(-ipix)/x-e^(-ipix)/(x-1/2)-e^(i3pix)/x+e^(i3pix)/(x-1/2)+e^(-i3pix)/x-e^(-i3pix)/(x-1/2)dx
Prendi adesso ogni singolo integrale e applica la formula...per esempio
$int_ -oo^oo -e^(ipix)/xdx = 2pii*1/2*Res(-e^(ipix)/x,0) = 2pii*(-1/2)$ (nota che $Res(-e^(ipix)/x,0)=f(x_0)$ dove $f(x)=-e^(ipix)$) questo perchè il polo nell'origine conviene aggirarlo con un semicerchio nel piano superiore perchè richiudendo il percorso con un semicerchio a infinito abbiamo che l'integrale
$int_ C -e^(ipiz)/zdz -> 0$ per $r->oo$ con $C: re^(it), t in [0,pi]$
Stessa cosa per il secondo pezzo:
$int_ -oo^oo e^(ipix)/(x-1/2)dx = 2pii*1/2*Res(e^(ipix)/(x-1/2),1/2) = 2pii*(i/2)$
Alla fine avrai che
$int _-oo^oo (sin(pix)+sin(3pix))/(x(2x-1))dx = 1/(2i)*(2pii*(-1/2)+2pii*(i/2)+.....)
Scusa se ho tirato via ma ti assicuro che fare ste cose su un forum non è semplice!:)
Ciao
Cmq ho calcolato l'integrale e a me torna (il risultato che hai dato te temo sia errato in quanto non può tornare un valore complesso):
$int _-oo^oo (sin(pix)+sin(3pix))/(x(2x-1))dx=-2pi$
Per calcolarlo ho considerato la funzione $f(z)=1/(2i)(e^(ipiz)-e^(-ipiz)+e^(i3piz)-e^(-i3piz))/(z(2z-1)$ (ho scritto i seni con la formula di Eulero)
La f(z) ha due poli semplici: uno in $z_1=0$ e l'altro in $z_2=1/2$.
A questo punto va sfruttata la seguente formula:
$int_ -oo^oo f(x)/(x-x_0)dx = 2pii*sum(1/2f(x_0)+$residui sul semipiano superiore$)$ nel caso tu aggiri il polo reale $x_0$ con un semicerchio nel semipiano superiore
oppure
$int_ -oo^oo f(x)/(x-x_0)dx = 2pii*sum(-1/2f(x_0)+$residui sul semipiano inferiore$)$ nel caso tu aggiri il polo reale $x_0$ con un semicerchio nel semipiano inferiore
quindi hai bisogno di riscrivere la tua funzione nella forma $f(x)/(x-x_0)
$1/(2i)int_ -oo^oo -e^(ipix)/x+e^(ipix)/(x-1/2)+e^(-ipix)/x-e^(-ipix)/(x-1/2)-e^(i3pix)/x+e^(i3pix)/(x-1/2)+e^(-i3pix)/x-e^(-i3pix)/(x-1/2)dx
Prendi adesso ogni singolo integrale e applica la formula...per esempio
$int_ -oo^oo -e^(ipix)/xdx = 2pii*1/2*Res(-e^(ipix)/x,0) = 2pii*(-1/2)$ (nota che $Res(-e^(ipix)/x,0)=f(x_0)$ dove $f(x)=-e^(ipix)$) questo perchè il polo nell'origine conviene aggirarlo con un semicerchio nel piano superiore perchè richiudendo il percorso con un semicerchio a infinito abbiamo che l'integrale
$int_ C -e^(ipiz)/zdz -> 0$ per $r->oo$ con $C: re^(it), t in [0,pi]$
Stessa cosa per il secondo pezzo:
$int_ -oo^oo e^(ipix)/(x-1/2)dx = 2pii*1/2*Res(e^(ipix)/(x-1/2),1/2) = 2pii*(i/2)$
Alla fine avrai che
$int _-oo^oo (sin(pix)+sin(3pix))/(x(2x-1))dx = 1/(2i)*(2pii*(-1/2)+2pii*(i/2)+.....)
Scusa se ho tirato via ma ti assicuro che fare ste cose su un forum non è semplice!:)
Ciao
Grazie mille MikeB, so bene che non è semplice, anzi hai fatto pure troppo 
Non mi sono fatto sentire prima perchè volevo approfondire l'argomento da solo evitando di postare domande alle quali mi posso rispondere leggendo i libri di testo.
Dopo aver guardato le lezioni del nettuno mi si sono chiariti diversi punti; questo integrale lo risolvo semplicemente calcolando il residuo in 0 e in 1/2.
$Res(f(z),0) = lim_ {z->0} f(z) * z = lim_ {z->0} (e^(i*pi*z) + e^(3*i*pi*z))/(2z-1) = -2$
$Res(f(z),1/2) = lim_ {z->1/2} f(z) * (z-1/2) = lim_ {z->1/2} (e^(i*pi*z) + e^(3*i*pi*z))/(2z) = 0$
Siccome i due residui sono sull'asse reale, danno metà del contributo, risulta quindi:
$int_ -oo^oo f(x) = Im (pi * i * (Res(f(z),0) + Res(f(z),1/2) )) = -2*pi$
Prendendo solo la parte immaginaria per la funzione considerata all'inizio.
Il dubbio che mi è rimasto è: cosa succede se anzichè avere dei poli ho delle singolarità eliminabili? devo comunque calcolarne il residuo o hanno residuo = 0? E nel caso di singolarità essenziali?
Grazie mille!
Non mi sono fatto sentire prima perchè volevo approfondire l'argomento da solo evitando di postare domande alle quali mi posso rispondere leggendo i libri di testo.
Dopo aver guardato le lezioni del nettuno mi si sono chiariti diversi punti; questo integrale lo risolvo semplicemente calcolando il residuo in 0 e in 1/2.
$Res(f(z),0) = lim_ {z->0} f(z) * z = lim_ {z->0} (e^(i*pi*z) + e^(3*i*pi*z))/(2z-1) = -2$
$Res(f(z),1/2) = lim_ {z->1/2} f(z) * (z-1/2) = lim_ {z->1/2} (e^(i*pi*z) + e^(3*i*pi*z))/(2z) = 0$
Siccome i due residui sono sull'asse reale, danno metà del contributo, risulta quindi:
$int_ -oo^oo f(x) = Im (pi * i * (Res(f(z),0) + Res(f(z),1/2) )) = -2*pi$
Prendendo solo la parte immaginaria per la funzione considerata all'inizio.
Il dubbio che mi è rimasto è: cosa succede se anzichè avere dei poli ho delle singolarità eliminabili? devo comunque calcolarne il residuo o hanno residuo = 0? E nel caso di singolarità essenziali?
Grazie mille!
La questione interessa molto anche a me
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