Domande su derivazione/continuità/funz. limitata
$ f(x)=xsinx+arctngx^2-ln(1-2x) $
Dire se:
-f(x) è derivabile nell'intorno di 0;
-f(x) è convesso nell'intorno di 0;
-se f(x) è derivabile due volte allora f(x) è limitata?
-se una funzione generale g(x) è derivabile due volte, allora la funzione g(x) è continua e limitata?
-come si comporta f(x) nell'intorno di 0?
____________________
-Non sembrano esserci funzioni che potrebbero creare complicanze nella derivazione (vedi modulo) quindi mi sembra derivabile
-Non sono riuscito a stabilirlo
-Credo di no
-Credo solo continua, quindi no
-Non sono riuscito a stabilirlo
Dire se:
-f(x) è derivabile nell'intorno di 0;
-f(x) è convesso nell'intorno di 0;
-se f(x) è derivabile due volte allora f(x) è limitata?
-se una funzione generale g(x) è derivabile due volte, allora la funzione g(x) è continua e limitata?
-come si comporta f(x) nell'intorno di 0?
____________________
-Non sembrano esserci funzioni che potrebbero creare complicanze nella derivazione (vedi modulo) quindi mi sembra derivabile
-Non sono riuscito a stabilirlo
-Credo di no
-Credo solo continua, quindi no
-Non sono riuscito a stabilirlo
Risposte
-Ok, ma... quale modulo?
-Hint: $d^2/(dx^2)f(x)$
-Ok
-"Credere" non basta, prova a prendere una funzione e vedere se hai ragione
-Studia le derivate prima e seconda
-Hint: $d^2/(dx^2)f(x)$
-Ok
-"Credere" non basta, prova a prendere una funzione e vedere se hai ragione
-Studia le derivate prima e seconda
Nel punto 4, se g è derivabile due volte, allora g è sicuramente continua (poiché derivabile), in particolare anche g' è continua.
Per quanto riguarda la limitatezza, se g è continua in un intervallo chiuso e limitato allora per weirestrass g ammette max e min assoluti nell'intervallo, quindi l'immagine di g è limitata inferiormente dal min e superiormente dal max, ecco dunque che g è limitata.
Nel caso in cui sia continua su tutto R non è verificata l'ipotesi di weirestrass, poiché R è un aperto, quindi non puoi affermare con certezza che g è limitata.
Per quanto riguarda la limitatezza, se g è continua in un intervallo chiuso e limitato allora per weirestrass g ammette max e min assoluti nell'intervallo, quindi l'immagine di g è limitata inferiormente dal min e superiormente dal max, ecco dunque che g è limitata.
Nel caso in cui sia continua su tutto R non è verificata l'ipotesi di weirestrass, poiché R è un aperto, quindi non puoi affermare con certezza che g è limitata.
-Il modulo era un esempio di quale (in caso ci stava) poteva essere un problema per stabilire la derivabilità
-con la derivata seconda mi ritrovo:
$ f''(x)=(2x^5cosx-x^6sinx+1-x^3)/x^5 $
non so come studiarla (per x=0 vengono fuori infiniti)
-ok quindi come detto da Tom possiamo solo dire con certezza che sia continua
-sia la derivata prima che la derivata seconda danno fuori infiniti
-con la derivata seconda mi ritrovo:
$ f''(x)=(2x^5cosx-x^6sinx+1-x^3)/x^5 $
non so come studiarla (per x=0 vengono fuori infiniti)
-ok quindi come detto da Tom possiamo solo dire con certezza che sia continua
-sia la derivata prima che la derivata seconda danno fuori infiniti
In effetti la mia idea era quella di studiare il segno di $f''(x)$ e dunque dedurne la concavità in un intorno di 0, il problema è che non ho in mente un modo per studiare il numeratore, mi pare un pó complesso, spero altri ti possano aiutare di più.
Allora c'è un po' di confusione:
definita in $(-oo, 1/2)$.
1) Stabilire se è derivabile nell'intorno di $x_0=0$: calcola la derivata e verificane il dominio, in questo modo emerge che...
NB: se dico questo significa che la derivata prima e di conseguenza la derivata seconda che hai calcolato sono sbagliate.
2) Verificare se è convessa: si calcola $f''(0)$ ovvero $lim_(x->0) f''(x)$ ovvero $lim_(h->0) (f'(h)-f'(0))/h$ e si troverà che...
3) L'esistenza della derivata seconda in realtà c'entra poco o niente col fatto che la funzione sia limitata o meno: basta verificare i limiti agli estremi del dominio di $f(x)$.
4) Ti abbiamo già risposto.
5) Basta rispondere ai primi 2 punti dell'esercizio per risolvere questo.
$f(x)=xsin(x)+arctan^2(x)-ln(1-2x)$
definita in $(-oo, 1/2)$.
1) Stabilire se è derivabile nell'intorno di $x_0=0$: calcola la derivata e verificane il dominio, in questo modo emerge che...
NB: se dico questo significa che la derivata prima e di conseguenza la derivata seconda che hai calcolato sono sbagliate.
2) Verificare se è convessa: si calcola $f''(0)$ ovvero $lim_(x->0) f''(x)$ ovvero $lim_(h->0) (f'(h)-f'(0))/h$ e si troverà che...
3) L'esistenza della derivata seconda in realtà c'entra poco o niente col fatto che la funzione sia limitata o meno: basta verificare i limiti agli estremi del dominio di $f(x)$.
4) Ti abbiamo già risposto.
5) Basta rispondere ai primi 2 punti dell'esercizio per risolvere questo.
"Brancaleone":
Allora c'è un po' di confusione:
$f(x)=xsin(x)+arctan^2(x)-ln(1-2x)$
definita in $(-oo, 1/2)$.
1) Stabilire se è derivabile nell'intorno di $x_0=0$: calcola la derivata e verificane il dominio, in questo modo emerge che...
NB: se dico questo significa che la derivata prima e di conseguenza la derivata seconda che hai calcolato sono sbagliate.
2) Verificare se è convessa: si calcola $f''(0)$ ovvero $lim_(x->0) f''(x)$ ovvero $lim_(h->0) (f'(h)-f'(0))/h$ e si troverà che...
3) L'esistenza della derivata seconda in realtà c'entra poco o niente col fatto che la funzione sia limitata o meno: basta verificare i limiti agli estremi del dominio di $f(x)$.
4) Ti abbiamo già risposto.
5) Basta rispondere ai primi 2 punti dell'esercizio per risolvere questo.
Ciao, scusa la risposta in ritardo, bene allora io ho appena ricalcolato la derivata:
$ f'(x)=sin(x)+xcos(x)+(2x)/(1-x^4)+2/(1-2x) $
$ f''(x)=2cos(x)-xsin(x)+(2-6x^4)/(1+x^4)^2-4/(1-2x)^2 $
$ f'(0)=2 $
$ f''(0)=0 $
Purtroppo non riesco a studiare la disequazione >0 e >=0 per la derivata seconda
Il dominio della derivata prima è tutta l'asse delle x escluso x=1/2
Ciao, nessun problema per il ritardo
Ma allora l'arcotangente è $arctan(x^2)$ - io avevo inteso $arctan^2(x)$. Comunque il denominatore che deriva dall'arcotangente non è giusto (probabilmente hai sbagliato a digitare), ma vale $1+x^4$
Occhio l'ultimo termine ha il segno sbagliato.
Vengono
Per ciò che chiede l'esercizio, lo studio del segno della derivata seconda nell'intorno di $x_0=0$ è in questo caso inutile - perché?
"DigYourOwnHole":
$ f'(x)=sin(x)+xcos(x)+(2x)/(1-x^4)+2/(1-2x) $
Ma allora l'arcotangente è $arctan(x^2)$ - io avevo inteso $arctan^2(x)$. Comunque il denominatore che deriva dall'arcotangente non è giusto (probabilmente hai sbagliato a digitare), ma vale $1+x^4$
"DigYourOwnHole":
$ f''(x)=2cos(x)-xsin(x)+(2-6x^4)/(1+x^4)^2-4/(1-2x)^2 $
Occhio l'ultimo termine ha il segno sbagliato.
"DigYourOwnHole":
$ f'(0)=2 $
$ f''(0)=0 $
Vengono
$f(0)=0$
$f'(0)=2$
$f''(0)=8$
"DigYourOwnHole":
Purtroppo non riesco a studiare la disequazione >0 e >=0 per la derivata seconda
Per ciò che chiede l'esercizio, lo studio del segno della derivata seconda nell'intorno di $x_0=0$ è in questo caso inutile - perché?
"DigYourOwnHole":Ok
Il dominio della derivata prima è tutta l'asse delle x escluso x=1/2
Giusto! caspita ho sbagliato anche la derivazione, faccio proprio pena...
No non dire così
Tra l'altro non l'hai sbagliata in pieno, hai solo dimenticato di aggiornare il segno
Comunque tornando al problema: hai capito perché non è necessario in questo caso lo studio della derivata secondo nell'intorno dell'origine?
Tra l'altro non l'hai sbagliata in pieno, hai solo dimenticato di aggiornare il segno
Comunque tornando al problema: hai capito perché non è necessario in questo caso lo studio della derivata secondo nell'intorno dell'origine?
"Brancaleone":
No non dire così
Tra l'altro non l'hai sbagliata in pieno, hai solo dimenticato di aggiornare il segno
Comunque tornando al problema: hai capito perché non è necessario in questo caso lo studio della derivata secondo nell'intorno dell'origine?
Ciao, se ho capito bene la funzione non è convessa, dato che la derivata seconda nell'intorno di 0 è maggiore di 0, inoltre ha una pendenza (derivata prima) maggiore di zero ciò esclude che si tratti di una costante (che non poteva essere convessa/convaca), giusto?
"DigYourOwnHole":
Ciao, se ho capito bene la funzione non è convessa, dato che la derivata seconda nell'intorno di 0 è maggiore di 0
Eh no: proprio perché la derivata seconda è positiva nell'intorno di $x_0=0$ la funzione non può essere concava, ma convessa.
"DigYourOwnHole":
inoltre ha una pendenza (derivata prima) maggiore di zero ciò esclude che si tratti di una costante (che non poteva essere convessa/convaca), giusto?
Sì, il fatto che la derivata prima in questo intorno sia positiva implica che la funzione sta crescendo nello stesso intorno.
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