Domande relative al campo di esistenza dei logaritmi

[curie88]

Ciao carissimi appassionati di matematica, vi pongo i seguenti quesiti:

è corretto dire che:

$y = log((3x)^3) = 3log(3x)$

è un identità valida solo per $x > 0$?

il che significa: valida solo dove il logaritmo è definito nel campo dei numeri reali?

nei numeri complessi, per cui, questa non è più un identità?

Se si vuole derivare la funzione $y = log((3x)^3)$, si può sempre procedere nel seguente modo?

$y = 3log(3x)$

$y' = 3[d(log(3x))/dx] = 3[dlog(3)/dx + dlog(x)/dx] = 3[0 + 1/x] = 3/x$ ( esiste una procedura più rapida? )

l'operazione "derivata" opera solo nel campo dei numeri reali?

Se si vuole risolvere l'integrale:

$\int log((3x)^3) dx $

è possibile ancora, e sempre, sostituire $log((3x)^3)$ con $3log(3x)$, prima di procedere?

Vi ringrazio per le eventuali risposte.

[Brancaleone1]

"curie88":
è corretto dire che:

$y = log((3x)^3) = 3log(3x)$

è un identità valida solo per $x > 0$?

il che significa: valida solo dove il logaritmo è definito nel campo dei numeri reali?

nei numeri complessi, per cui, questa non è più un identità?

L'identità $log((3x)^3) = 3log(3x)$ è sempre valida, solo che nel campo reale devi sottostare alla condizione $x>0$, mentre nel campo complesso puoi accettare anche la condizione $x<0$.

"curie88":Se si vuole derivare la funzione $y = log((3x)^3)$, si può sempre procedere nel seguente modo?

$y = 3log(3x)$

$y' = 3[d(log(3x))/dx] = 3[dlog(3)/dx + dlog(x)/dx] = 3[0 + 1/x] = 3/x$

Sì

"curie88":( esiste una procedura più rapida? )

\[3 \cdot \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}x}}\left[ {\ln \left( {3x} \right)} \right] = 3 \cdot \frac{{\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}x}}\left( {3x} \right)}}{{3x}} = \frac{3}{x}\]

"curie88":Se si vuole risolvere l'integrale:

$\int log((3x)^3) dx $

è possibile ancora, e sempre, sostituire $log((3x)^3)$ con $3log(3x)$, prima di procedere?

Certamente

[curie88]

Ti ringrazio per le risposte!