Domande random prima dell'esame
Ragazzi in vista dell'esame di matematica generale, stavo rivedendo i vecchi testi d'esame e vi sono domande aperte alle quali ho alcune incertezze nel rispondere. Confido in un vostro aiuto 
grazie
allora, una è questa:
Data una funzione continua $f: [a,b] \to RR$ con f(x) $!=$ 0 per ogni x $in$ $[a,b]$, è possibile che $\int_a^bf(x)dx $ sia uguale a 0?
Se no perche? Se si, si dia un esempio in proposito.
Sicuramente facendo gli esercizi ne incontrerò altre, però già questa domanda mi spiazza, magari nella sua ovvietà.
grazieallora, una è questa:
Data una funzione continua $f: [a,b] \to RR$ con f(x) $!=$ 0 per ogni x $in$ $[a,b]$, è possibile che $\int_a^bf(x)dx $ sia uguale a 0?
Se no perche? Se si, si dia un esempio in proposito.
Sicuramente facendo gli esercizi ne incontrerò altre, però già questa domanda mi spiazza, magari nella sua ovvietà.
Risposte
Se f è continua e non ha zeri nell'intervallo vuol dire che ... quindi ...
Pensa al significato geometrico... cosa rappresenta l'integrale?
Geometricamente, è la somma algebrica delle aree delle porzioni di piano delimitate dal grafico di f e dall'asse delle ascisse.
Ragazzi, non lo soooooooooo
Io ho pensato che la risposta sia no perche la funzione deve assumere 0 almeno in un punto perchè l'integrale come somma algebrica di aree sia nullo. Ma non ne sono per niente sicuro.
Faccio 2 esempi:
$\int_{0}^{2\pi} sinx dx$
$\int_-1^1 x^3 dx$
Entrambi uguali a 0, ma boh
Ragazzi, non lo soooooooooo
Io ho pensato che la risposta sia no perche la funzione deve assumere 0 almeno in un punto perchè l'integrale come somma algebrica di aree sia nullo. Ma non ne sono per niente sicuro.
Faccio 2 esempi:
$\int_{0}^{2\pi} sinx dx$
$\int_-1^1 x^3 dx$
Entrambi uguali a 0, ma boh
gli integrali che hai indicato sono uguali a zero, ma hanno degli zeri negli intervalli considerati...
se la tua f non ha zeri nell'intervallo ed è continua vuol dire che "sta tutta" o sopra o sotto l'asse delle x per cui l'area...
se la tua f non ha zeri nell'intervallo ed è continua vuol dire che "sta tutta" o sopra o sotto l'asse delle x per cui l'area...
non sono un genio ma fai tutto piu semplice...
per essere un integrale =0 devi avere tanto "spazio" sopra l'asse delle ascisse e tanto sotto. se la funzione è continua e mai =0 nell'intervallo o sta sopra l'asse o sta sotto.
un esempio: prendi $y=x$ in [-1,1]. o per evitare che passi per l'intersezione degli assi prendi $y=x-2$ in [1,3]. penso che con delle rette l'esempio sia chiaro
per essere un integrale =0 devi avere tanto "spazio" sopra l'asse delle ascisse e tanto sotto. se la funzione è continua e mai =0 nell'intervallo o sta sopra l'asse o sta sotto.
un esempio: prendi $y=x$ in [-1,1]. o per evitare che passi per l'intersezione degli assi prendi $y=x-2$ in [1,3]. penso che con delle rette l'esempio sia chiaro
"itpareid":
gli integrali che hai indicato sono uguali a zero, ma hanno degli zeri negli intervalli considerati...
se la tua f non ha zeri nell'intervallo ed è continua vuol dire che "sta tutta" o sopra o sotto l'asse delle x per cui l'area...
si si....io ho portato quei 2 esempi in cui l'intervallo comprende lo 0 proprio per far vedere che sono 2 casi in cui l'integrale si annulla.
Quindi la risposta è no....dal momento che nell'intervallo considerato la funzione non cambia segno e quindi l'integrale è da considerarsi come area dela figura individuata dal grafico di f e dall'asse delle ascisse
giusto? adesso mi menate
non c'entra niente che l'intervallo comprenda lo 0...l'esercizio ti chiede che la f non abbia zeri (cioè non "attraversi" l'asse x) nell'intervallo considerato
hai ragione itpareid
ma comunque in definitiva la risposta al problema è no.
Accendiamola....non mi dire che torno a casa senza nulla
ma comunque in definitiva la risposta al problema è no.
Accendiamola....non mi dire che torno a casa senza nulla
Si la risposta è no perchè non c'è modo (date le ipotesi) che l'area sia nulla.
puoi andare avanti...però non hai più l'aiuto del pubblico... 
lo so che non c'entra nulla è solo che, visto la mia breve esperienza nello spiegare qualcosa ad altre persone, ogni volta che si può evitare qualcosa di simile, lo 0 della funzione con lo 0 delle assi, è meglio farlo. era solo per rendere più chiaro, a mio parere, il concetto. sorry
@luked: la mia risposta era riferita ad un post di Matisse...
salve a tutti ragazzi!
Io avrei una domanda a cui non riesco a trovare risposta sui libri...spero che possiate aiutarmi!!
Vorrei sapere se è possibile fare la derivata del fattoriale...in particolare (x-2)! cosa risulta?
grazie mille
Io avrei una domanda a cui non riesco a trovare risposta sui libri...spero che possiate aiutarmi!!
Vorrei sapere se è possibile fare la derivata del fattoriale...in particolare (x-2)! cosa risulta?
grazie mille
non capisco cosa intendi per (x-2)!
"YuppY":
salve a tutti ragazzi!
Io avrei una domanda a cui non riesco a trovare risposta sui libri...spero che possiate aiutarmi!!
Vorrei sapere se è possibile fare la derivata del fattoriale...in particolare (x-2)! cosa risulta?
grazie mille
Per $x \in NN, x >= 2$?
Volevo sapere la derivata del fattoriale di (x-2).
O più in generale la derivata di un fattoriale.
Grazie
O più in generale la derivata di un fattoriale.
Grazie
Sai cos'è un fattoriale? In tal caso vedrai che la funzione che ad $x$ associa $(x-2)!$ è definita solo sui naturali $\geq 2$, a meno che non usi una sua interpolazione tipo la funzione Gamma. Ora le funzioni che hanno per dominio $NN$ non hanno una derivata, essa è definita per funzioni reali in punti che siano di accumulazione per il dominio.
Non risponderò alla domanda di Matisse, ma citerò un altro teorema, che si mantiene sulla falsa riga.
Sia $f:[a,b] to RR$. continua, $AAx in [a,b]:f(x)>=0$ (cioè è non negativa, si mantiene sempre al disopra dell'asse delle ascisse, o al max lo tocca, ma non va mai giù).
Se $int_a^b f(x)dx=0 $ allora $ AAx in [a,b]: f(x)=0$
Per la dimostrazione..ragiona per assurdo e usa il teorema di prolungamento delle disuguaglianze.
Per rispondere a Matisse: la tua funzione ammette minimo $m$ su $[a,b]$ (th.Weierstrass) ed essendo un valore assunto sicuramente $m>0$.
Prendi la partizione di $[a,b]$: $P={a,b}$.
Sicuramente la funzione è integrabile (è continua) e l'integrale è uguale al sup delle somme inferiori. Quindi è sicuramente $>=$ della somma inferiore relativa alla partizione $P$ che è $m(b-a)$.
quindi $int_a^b f(x)dx >= m(b-a)>0$
Sia $f:[a,b] to RR$. continua, $AAx in [a,b]:f(x)>=0$ (cioè è non negativa, si mantiene sempre al disopra dell'asse delle ascisse, o al max lo tocca, ma non va mai giù).
Se $int_a^b f(x)dx=0 $ allora $ AAx in [a,b]: f(x)=0$
Per la dimostrazione..ragiona per assurdo e usa il teorema di prolungamento delle disuguaglianze.
Per rispondere a Matisse: la tua funzione ammette minimo $m$ su $[a,b]$ (th.Weierstrass) ed essendo un valore assunto sicuramente $m>0$.
Prendi la partizione di $[a,b]$: $P={a,b}$.
Sicuramente la funzione è integrabile (è continua) e l'integrale è uguale al sup delle somme inferiori. Quindi è sicuramente $>=$ della somma inferiore relativa alla partizione $P$ che è $m(b-a)$.
quindi $int_a^b f(x)dx >= m(b-a)>0$
grazie a tutti!
adesso ho un dubbio...diciamo interpretativo su un'altra domanda
mi si chiede di determinare esplicitamente la funzione integrale centrata in x uguale 0, di una funzione
Devo considerare l'integrale della funzione come 2 integrali generalizzati, uno da meno infinito a 0 e l'altro da 0 a piu infinito?
Non ho proprio capito il senso della domanda
adesso ho un dubbio...diciamo interpretativo su un'altra domanda
mi si chiede di determinare esplicitamente la funzione integrale centrata in x uguale 0, di una funzione
Devo considerare l'integrale della funzione come 2 integrali generalizzati, uno da meno infinito a 0 e l'altro da 0 a piu infinito?
Non ho proprio capito il senso della domanda
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