Domande di teoria: i vari criteri
Mi sono fatto uno schema di tutti i criteri di convergenza e divergenza.
Prima cosa la definizione generale, e poi la suddivisione.
Definizione di convergenza:
preso una serie $\sum a_k$ con $k>=0$ se a $s_n=\sum a_k$ si fa il limite per $n->+oo$ di $s_n$
Converge: se il limite è finito
Diverge: se il limite è infinito
Indeterminata: se non esiste il limite.
I criteri sono:
1)criterio del confronto
2)criterio del rapporto
3)criterio della radice
4) criterio del confronto asintotico.
Le mie domande-dubbio sono:
1) Che differenza c'è tra 'serie a termini non negativi' e 'serie a termini positivi'? Non è la stessa cosa?
2)Dire criterio degli infinitesimi e criterio del confronto asintotico, è la stessa cosa?
3) Qual è il criterio degli integrali?
Prima cosa la definizione generale, e poi la suddivisione.
Definizione di convergenza:
preso una serie $\sum a_k$ con $k>=0$ se a $s_n=\sum a_k$ si fa il limite per $n->+oo$ di $s_n$
Converge: se il limite è finito
Diverge: se il limite è infinito
Indeterminata: se non esiste il limite.
I criteri sono:
1)criterio del confronto
2)criterio del rapporto
3)criterio della radice
4) criterio del confronto asintotico.
Le mie domande-dubbio sono:
1) Che differenza c'è tra 'serie a termini non negativi' e 'serie a termini positivi'? Non è la stessa cosa?
2)Dire criterio degli infinitesimi e criterio del confronto asintotico, è la stessa cosa?
3) Qual è il criterio degli integrali?
Risposte
1) Sostanzialmente i "termini non negativi" possono essere anche nulli, ma non credo che questo cambi qualcosa a livello di criteri applicabili 
2) Sono equivalenti, basta cercare su Wikipedia
3) Non lo conosco, sicuro che si chiami in questo modo e/o che sia un criterio?
In ogni caso ai vari criteri aggiungi:
- Cauchy: Se la serie è convergente => il limite dell'argomento tende a zero
Sostanzialmente Cauchy serve a verificare la divergenza di una serie, perché se il limite dell'argomento non è nullo => la serie è divergente
2) Sono equivalenti, basta cercare su Wikipedia
3) Non lo conosco, sicuro che si chiami in questo modo e/o che sia un criterio?
In ogni caso ai vari criteri aggiungi:
- Cauchy: Se la serie è convergente => il limite dell'argomento tende a zero
Sostanzialmente Cauchy serve a verificare la divergenza di una serie, perché se il limite dell'argomento non è nullo => la serie è divergente
@Aethelmyth: grazie per le risposte!
@Gatto89: si! credo che sia questo quello che mi serve.
Avrei da chiedere proprio su questo link due cose:
1. nell'ipotesi mette che $f:[1,+oo)->RR$ funzione monotona non crescente.
Quindi è sempre decrescente? cioè del tipo $a_n>a_(n+1)$?
2. sempre nell'ipotesi mette che il $lim_(x->+oo)=0$ ma intende il limite della $f(x)$?
3. nella dimostrazione dice che se $\sum f(k)$ converge, allora i $f(K)$ e $f(k+1)$ per $k->+oo$ hanno limite finito
quindi, avranno due limiti finiti diversi che posso chiamare $l_1$ e $l_2$?
grazie.
@Gatto89: si! credo che sia questo quello che mi serve.
Avrei da chiedere proprio su questo link due cose:
1. nell'ipotesi mette che $f:[1,+oo)->RR$ funzione monotona non crescente.
Quindi è sempre decrescente? cioè del tipo $a_n>a_(n+1)$?
2. sempre nell'ipotesi mette che il $lim_(x->+oo)=0$ ma intende il limite della $f(x)$?
3. nella dimostrazione dice che se $\sum f(k)$ converge, allora i $f(K)$ e $f(k+1)$ per $k->+oo$ hanno limite finito
quindi, avranno due limiti finiti diversi che posso chiamare $l_1$ e $l_2$?
grazie.
Allora...
1) Non crescente significa $a_n \geq a_(n+1)$ (è un sinonimo di debolmente decrescente).
2) Penso intenda il limite della serie, ma dovrebbe essere uguale.
3) Quello che stai cercando di dimostrare non è che $f(K)$ e $f(K +1)$ hanno lo stesso limite?
1) Non crescente significa $a_n \geq a_(n+1)$ (è un sinonimo di debolmente decrescente).
2) Penso intenda il limite della serie, ma dovrebbe essere uguale.
3) Quello che stai cercando di dimostrare non è che $f(K)$ e $f(K +1)$ hanno lo stesso limite?
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