Domande di Analisi
propongo alcune domande di Analisi, per chi deve dare l'orale (o come me l'ha già dato e si diverte ancora aspettando il corso II con impazienza)
1) una funzione che ammette primitiva è sempre Riemann-integrabile?
2) una funzione Riemann-integrabile ammette sempre primitiva?
3) uno spazio metrico con metrica discreta è sempre completo?
4) (+ facile) in un insieme chiuso l'estremo superiore è sempre di accumulazione?
5) (+ difficile) lo spazio metrico delle funzioni continue in [0,1] con la metrica $d(f,g)=int |f(x)-g(x)| dx$ è completo?
6) una funzione definita f(x)=x se x razionale e non definita sugli irrazionali è Riemann-integrabile in un intervallo [a,b] con a,b razionali?
1) una funzione che ammette primitiva è sempre Riemann-integrabile?
2) una funzione Riemann-integrabile ammette sempre primitiva?
3) uno spazio metrico con metrica discreta è sempre completo?
4) (+ facile) in un insieme chiuso l'estremo superiore è sempre di accumulazione?
5) (+ difficile) lo spazio metrico delle funzioni continue in [0,1] con la metrica $d(f,g)=int |f(x)-g(x)| dx$ è completo?
6) una funzione definita f(x)=x se x razionale e non definita sugli irrazionali è Riemann-integrabile in un intervallo [a,b] con a,b razionali?
Risposte
Comincio a rispondere con le prime due domande: l'integrabilità non è condizione necessaria nè sufficiente di integrabilità (mi ricordo come si arrabbiava il nostro prof quando diceva: l'integrale non è la primitiva! 
).
Un esempio di funzione integrabile senza primitive è la funzione "a scalino" f: [-1,1]->R che a x associa:
per 0
per 1<=x<0, -1
Tale funzione non porta intervalli in intervalli, poichè porta [-1,1] in {-1,0,1}, ma per il teorema di Darboux, dovrebbe essere così se f avesse primitiva... La funzione è integrabile perchè ha solo un numero finito di punti di discontinuità(1).
Non ho testi sottomano che diano esempi nel senso contrario ne mi ricordo a mente..., anche se sono sicuro dell'affermazione
).Un esempio di funzione integrabile senza primitive è la funzione "a scalino" f: [-1,1]->R che a x associa:
per 0
per 1<=x<0, -1
Tale funzione non porta intervalli in intervalli, poichè porta [-1,1] in {-1,0,1}, ma per il teorema di Darboux, dovrebbe essere così se f avesse primitiva... La funzione è integrabile perchè ha solo un numero finito di punti di discontinuità(1).
Non ho testi sottomano che diano esempi nel senso contrario ne mi ricordo a mente..., anche se sono sicuro dell'affermazione
Dunque, la terza domanda mi pare che sia vera, infatti, se prendiamo una successione di Cauchy, allora si avrà:
per ogni $epsilon>0$ esiste $n(epsilon)$ naturale per cui $|x_n-x_m|n(epsilon)$
Perchè ciò accada con la distanza discreta, o la successione è costante o è non costante fino a un certo k, poi da $x_k$ è costante (poichè la distanza discreta è al più 1 e invece $epsilon$ può anche essre maggiore di 1).
Per quanto riguarda le successioni costanti, esse sono banalmente convergenti (distanza sempre nulla), per quanto riguarda le successioni del secondo tipo, la formula della convergenza:
per ogni $epsilon>0$ esiste $n(epsilon)$ naturale per cui $|x_n-x|n(epsilon)$
è in effetti verificata essendo x il limite coincidente con quel valore assunto dalla successione da quel tale k in poi e potendo prendere $n(epsilon)$ come proprio k stesso.
Chissà se è giusto, mi sono fatto prendere la mano da ragionamenti un po' astrusi....
per ogni $epsilon>0$ esiste $n(epsilon)$ naturale per cui $|x_n-x_m|
Perchè ciò accada con la distanza discreta, o la successione è costante o è non costante fino a un certo k, poi da $x_k$ è costante (poichè la distanza discreta è al più 1 e invece $epsilon$ può anche essre maggiore di 1).
Per quanto riguarda le successioni costanti, esse sono banalmente convergenti (distanza sempre nulla), per quanto riguarda le successioni del secondo tipo, la formula della convergenza:
per ogni $epsilon>0$ esiste $n(epsilon)$ naturale per cui $|x_n-x|
è in effetti verificata essendo x il limite coincidente con quel valore assunto dalla successione da quel tale k in poi e potendo prendere $n(epsilon)$ come proprio k stesso.
Chissà se è giusto, mi sono fatto prendere la mano da ragionamenti un po' astrusi....
Guardando le altre domande mi sorge il dubbio che la 6 non abbia senso, visto che la funzione è definita solo sui punti razionali dell'intervallo, mentre si vuole fare l'integrale sull'intervallo completo...
la 6 non è continua, dunque non è integrabile secondo Riemann
sì, ma se non è definita su certi punti dell'intervallo non si può nemmeno fare l'integrale, per cui che senso ha? E' poi non è tutto vero quello che dici...
amel, le prime tre risposte sono giuste. 
in uno spazio metrico con metrica discreta una successione è di Cauchy sse è definitivamente costante, e dunque è convergente.
sulla sesta:
ehi, questo non è vero! la continuità è condizione sufficiente, non necessaria!
fra le condizioni sufficienti c'è anche la monotonia su funzione limitata, quindi direi che la funzione f(x), pur avendo infiniti punti di discontinuità è integrabile, essendo monotona crescente
in uno spazio metrico con metrica discreta una successione è di Cauchy sse è definitivamente costante, e dunque è convergente.
sulla sesta:
"Kroldar":
la 6 non è continua, dunque non è integrabile secondo Riemann
ehi, questo non è vero! la continuità è condizione sufficiente, non necessaria!
fra le condizioni sufficienti c'è anche la monotonia su funzione limitata, quindi direi che la funzione f(x), pur avendo infiniti punti di discontinuità è integrabile, essendo monotona crescente
sinceramente la tua risposta non mi convince... oddio potrei sbagliarmi, ma mi pare che la teoria dell'integrazione secondo riemann non riguardi funzioni discontinue; il discorso cambia se al posto della funzione da te scritta ne consideriamo il prolungamento continuo nei punti ad ascissa irrazionale
Precisamente, le funzioni Riemann integrabili sono le funzioni con al più un numero finito di punti di discontinuità. Se essi sono in quantità numerabile, la funzione non è integrabile, come nel caso della classica funzione di Dirichlet, di cui probabilmente la funzione della 6 è sostanzialmente una variante. Quello che dicevo è che nella 6 la funzione non può non essere definita su quei punti dell'intervallo perchè l'integrale di Riemann che io sappia si definisce solo su un intervallo. Al più forse volevi intendere che su dei punti è definita con un certo valore, su altri con un altro valore. Capito, ora? 
amel io sapevo una cosa leggermente diversa da te: perché esista l'integrale di Riemann occorre la continuità della funzione, mentre nel caso di un numero finito di discontinuità si parla di integrale improprio... forse è questo che intendevi
"amel":
Precisamente, le funzioni Riemann integrabili sono le funzioni con al più un numero finito di punti di discontinuità. Se essi sono in quantità numerabile, la funzione non è integrabile, come nel caso della classica funzione di Dirichlet, di cui probabilmente la funzione della 6 è sostanzialmente una variante. Quello che dicevo è che nella 6 la funzione non può non essere definita su quei punti dell'intervallo perchè l'integrale di Riemann che io sappia si definisce solo su un intervallo. Al più forse volevi intendere che su dei punti è definita con un certo valore, su altri con un altro valore. Capito, ora?
Ancor più precisamente. Teorema di Lebesgue-Vitali: Sia $f:[a,b] rarr RR$ una funzione limitata. Allora f è integrabile secondo Riemann se e solo se l'insieme dei suoi punti di discontinuità è un insieme di misura nulla secondo Lebesgue.
E' vero è così, hai perfettamente ragione. A dir la verità ero convinto all'inizio che la funzione di Dirichlet fosse continua q.d., ma (oddio che scemo!) in realtà non è continua, ecco perchè non è Riemann integrabile e il teorema che hai detto è vero... 
Comunque, l'osservazione sul punto 6 era giusta...
Comunque, l'osservazione sul punto 6 era giusta...
"amel":
Precisamente, le funzioni Riemann integrabili sono le funzioni con al più un numero finito di punti di discontinuità. Se essi sono in quantità numerabile, la funzione non è integrabile
Ciò è falso. Consideriamo la funzione $f:[0,1] -> RR$ definita da:
$f(x) = 0 \qquad x=0$ o $x=1$ o $1/x !in NN\\{1}$ ;
$f(1/n) = 1 \qquad \forall n in NN\\{1}$.
Scegliamo un $epsilon>0$.
Sia $n = max{k \in NN| 1/k > epsilon}$.
Consideriamo la seguente partizione di $[0,1]$ :
$x_0 = 0$;
$x_1 = epsilon$;
$x_{2k} = (1-epsilon)/{2(n-1)} \qquad \forall k = 1 ... n$ ;
$x_{2k+1} = (1+epsilon)/{2(n-1)} \qquad \forall k = 1 ... n-1$ ;
$x_{2n+1} = 1$.
Siano $m_k = min_{x in [x_{k-1}, x_k]} f(x)$, $M_k = max_{x in [x_{k-1}, x_k]} f(x)$. Abbiamo:
$S(f) = sum_{j=1}^{2n+1} M_j\cdot(x_j-x_{j-1}) = epsilon + (n-1)\cdot epsilon/(n-1) = 2epsilon $.
$s(f) = sum_{j=1}^{2n+1} m_j\cdot(x_j-x_{j-1}) = 0$. Perciò: $|S(f)-s(f)| = 2epsilon$ . Dunque la funzione $f$ è Riemann-integrabile in $[0,1]$ pur avendo infiniti punti di discuntinuità in $[0,1]$.
amel, la funzione di Dirichlet è un caso diverso dalla funzione del punto 6, poichè quest'ultima è monotona crescente, e dunque le somme superiori e le somme inferiori dell'integrale convergono allo stesso valore, lo si dimostra utilizzando il procedimento che ha scritto woody
no, no ma quello sono d'accordo e chiedo scusa se posso aver fuorviato inizialmente qualcuno...
Tuttavia io mi concentravo più che altro sull'impostazione del punto 6 e lì son sicuro di aver ragione; una funzione per farne l'integrale deve essere definita in un modo nell'altro in tutto l'intervallo... A quanto pare abbiamo un po' tutti un po' confusione in testa...
Tuttavia io mi concentravo più che altro sull'impostazione del punto 6 e lì son sicuro di aver ragione; una funzione per farne l'integrale deve essere definita in un modo nell'altro in tutto l'intervallo... A quanto pare abbiamo un po' tutti un po' confusione in testa...
"amel":
una funzione per farne l'integrale deve essere definita in un modo nell'altro in tutto l'intervallo...
oddio forse mi sbaglio, ma mi sembra che se la funzione è prolungabile per continuità non ci sia problema alcuno!
PS quella domanda è stata fatta all'orale ad un mio amico (quando lo vedo chiedo cos'è stata la sua risposta), per fortuna io me ne sono beccate altre, fra queste che ho scritto la 3, la 4 e la 5
ah, ecco, ok devi fare l'integrale del suo prolungamento, ma a quel punto praticamente è banale, cioè trovare l'integrale di
f(x)=x su [a,b]. La domanda probabilmente era f(x)=x per gli x razionali, f(x)=qualcos'altro per gli x non razionali e così verrebbe un discorso simile alla funzione di Dirichlet, o forse no? Accidenti, mi stai facendo tirar fuori un sacco di dubbi sulla teoria dell'integrazione che credevo di aver studiato più che bene...
Comunque su una cosa sono sicuro: quando fai l'integrale di una funzione lungo un insieme, in un modo patologico o meno, la funzione deve essere definita su tutto l'insieme, persino per la teoria dell'integrale di Lebesgue... (naturalmente, prima che mi correggano, non parlo dell'estensione agli spazi Lp, eh...)
f(x)=x su [a,b]. La domanda probabilmente era f(x)=x per gli x razionali, f(x)=qualcos'altro per gli x non razionali e così verrebbe un discorso simile alla funzione di Dirichlet, o forse no? Accidenti, mi stai facendo tirar fuori un sacco di dubbi sulla teoria dell'integrazione che credevo di aver studiato più che bene...
Comunque su una cosa sono sicuro: quando fai l'integrale di una funzione lungo un insieme, in un modo patologico o meno, la funzione deve essere definita su tutto l'insieme, persino per la teoria dell'integrale di Lebesgue... (naturalmente, prima che mi correggano, non parlo dell'estensione agli spazi Lp, eh...)
Non è mica detto che se non è continua non è integrabile! l'importante è che abbia un numero al più numerabile di discontinuità!
"Kroldar":
la 6 non è continua, dunque non è integrabile secondo Riemann
Io concordo con amel. Se si legge una qualunque definizione di integrale di Riemann questa comincerà con
" sia $f:[a,b]\to RR$ limitata ..."
Se $f$ è definita solo sui razionali allora non ha senso porsi il problema (peraltro la $f$ considerata è CONTINUA!).
E' altresì vero che $f$ ammette un prolungamento integrabile su $[a,b]$ (cioè $f(x)=x$ per ogni $x$). Se invece si considerasse l'integrale di Lebesgue
allora si potrebbe considerarne ò'integrabilità, dato che l'insieme dei razionali è misurabile e il suo integrale sarebbe zero (dato che i razionali hanno misura zero).
" sia $f:[a,b]\to RR$ limitata ..."
Se $f$ è definita solo sui razionali allora non ha senso porsi il problema (peraltro la $f$ considerata è CONTINUA!).
E' altresì vero che $f$ ammette un prolungamento integrabile su $[a,b]$ (cioè $f(x)=x$ per ogni $x$). Se invece si considerasse l'integrale di Lebesgue
allora si potrebbe considerarne ò'integrabilità, dato che l'insieme dei razionali è misurabile e il suo integrale sarebbe zero (dato che i razionali hanno misura zero).
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