Domande d'esame: formula di taylor e funzione $sin(x)$
Ciao a tutti, oggi sono andato ad assistere degli esami orali del mio professore e ha fatto queste domande, di cui i miei amici non hanno saputo rispondere, e onestamente anche io mi sono posto le stesse domande, ma non saprei rispondere:
1)Formula il teorema di Bolzano.
Questo sarebbe dimostrare il teorema di Bolzano e dei valori intermedi, cioè affermare che una funzione $f(x)$ definita su intervallo chiuso e limitato $[a,b]$ e che sia $m
2) La domanda che mi ha fatto pensare è: parla del teorema inverso di Bolzano...di cosa si tratta? Sul libro non c'è questo teorema inverso.
3)Teorema del limite delle funzioni monotone: sarebbe dire che una funzione monotona (che sia crescente, decrescente) ammette sempre limite? Se sì, come si dimostra?
4)Che vuol dire che la funzione seno è periodica?
Significa che è periodica di $2Kpi$, e che se a $pi/2$ vale $1$ anche a $(pi/2)+2Kpi$ vale $1$
(mi sa che l'ho spiegato da cani, ma così mi sarebbe venuto di rispondere.
5)La tangente che periodo ha?
$Kpi$
6)E' vero che se $f'(x)=0$ allora $x$ è un punto di minimo o massimo per $f$?
Il punto che risolve questa equazione è un punto critico, per capire se è di massimo o di minimo bisognerebbe vedere la crescenza o la decrescenza della derivata prima. Non posso dunque affermare a priori se quel $P=(x;f(x))$ è punto di massimo o di minimo.
7)Che significa che la funzione è di classe $C^n$? (per la formula di taylor)
Per ora posto queste, per avere un 'confronto' con voi, se posso dopo ne posto altre.
Grazie
1)Formula il teorema di Bolzano.
Questo sarebbe dimostrare il teorema di Bolzano e dei valori intermedi, cioè affermare che una funzione $f(x)$ definita su intervallo chiuso e limitato $[a,b]$ e che sia $m
2) La domanda che mi ha fatto pensare è: parla del teorema inverso di Bolzano...di cosa si tratta? Sul libro non c'è questo teorema inverso.
3)Teorema del limite delle funzioni monotone: sarebbe dire che una funzione monotona (che sia crescente, decrescente) ammette sempre limite? Se sì, come si dimostra?
4)Che vuol dire che la funzione seno è periodica?
Significa che è periodica di $2Kpi$, e che se a $pi/2$ vale $1$ anche a $(pi/2)+2Kpi$ vale $1$
(mi sa che l'ho spiegato da cani, ma così mi sarebbe venuto di rispondere.
5)La tangente che periodo ha?
$Kpi$
6)E' vero che se $f'(x)=0$ allora $x$ è un punto di minimo o massimo per $f$?
Il punto che risolve questa equazione è un punto critico, per capire se è di massimo o di minimo bisognerebbe vedere la crescenza o la decrescenza della derivata prima. Non posso dunque affermare a priori se quel $P=(x;f(x))$ è punto di massimo o di minimo.
7)Che significa che la funzione è di classe $C^n$? (per la formula di taylor)
Per ora posto queste, per avere un 'confronto' con voi, se posso dopo ne posto altre.
Grazie
Risposte
Provo a dare un parere.
1. Di questa non riesco a capire il testo perché ci sono un sacco di scritte "mimeTex failed to render your expression" oltre che un casino proprio nell'esposizione: secondo me hai dimenticato qualche "dollaro" (non scrivo il simbolo sennò fa casini anche a me) quando hai scritto le formule.
2. Teorema inverso di Bolzano: https://www.matematicamente.it/forum/dim ... 50110.html
3. Si, però non so come si dimostra (rimando a successivi interventi...)
4. - 5. Occorre stare attenti: il periodo del seno è $2\pi$ e della tangente è $\pi$; il $k$ si pone solamente per indicare le ripetizioni del periodo quando si studia la soluzione di un'equazione trigonometrica (anche io l'ho spiegata da cani!!!)...
6. Giusto, è un punto critico, però occorre guardare il "segno" della derivata prima, non la decrescenza o la crescenza: la decrescenza e la crescenza vanno guardate nella funzione tramite il segno della derivata prima.
7. Una funzione è di classe $C^n$ in un intervallo se è derivabile $n$ volte con derivata continua in quell'intervallo. Ti segnalo questo: http://it.wikipedia.org/wiki/Classe_C_di_una_funzione
1. Di questa non riesco a capire il testo perché ci sono un sacco di scritte "mimeTex failed to render your expression" oltre che un casino proprio nell'esposizione: secondo me hai dimenticato qualche "dollaro" (non scrivo il simbolo sennò fa casini anche a me) quando hai scritto le formule.
2. Teorema inverso di Bolzano: https://www.matematicamente.it/forum/dim ... 50110.html
3. Si, però non so come si dimostra (rimando a successivi interventi...)
4. - 5. Occorre stare attenti: il periodo del seno è $2\pi$ e della tangente è $\pi$; il $k$ si pone solamente per indicare le ripetizioni del periodo quando si studia la soluzione di un'equazione trigonometrica (anche io l'ho spiegata da cani!!!)...
6. Giusto, è un punto critico, però occorre guardare il "segno" della derivata prima, non la decrescenza o la crescenza: la decrescenza e la crescenza vanno guardate nella funzione tramite il segno della derivata prima.
7. Una funzione è di classe $C^n$ in un intervallo se è derivabile $n$ volte con derivata continua in quell'intervallo. Ti segnalo questo: http://it.wikipedia.org/wiki/Classe_C_di_una_funzione
Grazie per l'appunto Zero87
Ho qui altre domande, a cui vorrei trarre delle risposte:
1. L'estremo superiore è di accumulazione e non appartiene ad $X$
Io lo spiegherei così:
Il punto di accumulazione è un $c$ tale che preso un intorno dove si trova il punto di accumulazione, si trovano infiniti punti appartenente a quell'intervallo $X$
L'estremo superiore per un $X=(a,b)$ dove $b$ è sicuramente l'estremo superiore, non è $"sup"X$ perchè non è compreso nell'insieme, però è di accumulazione, perchè preso un $L-epsilon$ si prende sempre infiniti punti dell'insieme con quell'intorno.
2. Parlare delle proprietà delle funzioni continue.
sia $f:[a,b]->RR$ continua, allora:
1. $f$ è limitata in $[a,b]$
2. $f$ è dotata di massimo e minimo.
3. Per la proprietà di Darboux, la $f$ assume qualsiasi valore, almeno una volta, nell'intervallo compreso tra massimo e minimo.
3.Chi mi dice che esiste il minimo dei maggioranti?
Preso un intervallo, limitato superiormente, esiste un estremo superiore che chiameremo $"sup"X$ tale che sia il più piccolo dei maggioranti per quell'insieme $X$.
Basta dunque avere un insieme numerico non vuoto e limitato.
4.Cosa si può dire di un insieme compatto e una funzione continua?
L'insieme compatto, è un insieme chiuso e limitato, e dunque è una caratteristica primaria della funzione continua.
Una funzione continua è sempre in un intervallo tipo: $[a,b]$
Derivabile in un intervallo tipo $(a,b)$
secondo voi va bene?
Ho qui altre domande, a cui vorrei trarre delle risposte:
1. L'estremo superiore è di accumulazione e non appartiene ad $X$
Io lo spiegherei così:
Il punto di accumulazione è un $c$ tale che preso un intorno dove si trova il punto di accumulazione, si trovano infiniti punti appartenente a quell'intervallo $X$
L'estremo superiore per un $X=(a,b)$ dove $b$ è sicuramente l'estremo superiore, non è $"sup"X$ perchè non è compreso nell'insieme, però è di accumulazione, perchè preso un $L-epsilon$ si prende sempre infiniti punti dell'insieme con quell'intorno.
2. Parlare delle proprietà delle funzioni continue.
sia $f:[a,b]->RR$ continua, allora:
1. $f$ è limitata in $[a,b]$
2. $f$ è dotata di massimo e minimo.
3. Per la proprietà di Darboux, la $f$ assume qualsiasi valore, almeno una volta, nell'intervallo compreso tra massimo e minimo.
3.Chi mi dice che esiste il minimo dei maggioranti?
Preso un intervallo, limitato superiormente, esiste un estremo superiore che chiameremo $"sup"X$ tale che sia il più piccolo dei maggioranti per quell'insieme $X$.
Basta dunque avere un insieme numerico non vuoto e limitato.
4.Cosa si può dire di un insieme compatto e una funzione continua?
L'insieme compatto, è un insieme chiuso e limitato, e dunque è una caratteristica primaria della funzione continua.
Una funzione continua è sempre in un intervallo tipo: $[a,b]$
Derivabile in un intervallo tipo $(a,b)$
secondo voi va bene?
Clever dai, seriamente, ma ti pare che ciò che hai scritto (a parte l'elenco sotto la voce "2. Parlare delle proprietà delle funzioni continue") abbia senso?
Rileggi con attenzione:
Quello che scrivi, quando non è tautologico, o non risponde alla domanda che ti poni oppure è totalmente sbagliato ovvero è espresso in maniera pessima.
Se vuoi continuare a postare qui per avere dei chiarimenti, sei pregato di farlo sforzandoti di seguire i crismi del linguaggio italiano (prima) e di quello matematico (poi).
Altrimenti, se postare qui è solo un modo per esorcizzare le tue paure, t'invito a cercare un'altra valvola di sfogo.
Scusami la durezza, ma sto notando che più vai avanti più peggiori; quindi mi sono sentito in dovere di avvisarti che stai percorrendo un crinale pericoloso per te in quanto studente ed in quanto utente del foro.
Rileggi con attenzione:
"clever":
Il punto di accumulazione è un $c$ tale che preso un intorno dove si trova il punto di accumulazione, si trovano infiniti punti appartenente a quell'intervallo $X$
L'estremo superiore per un $X=(a,b)$ dove $b$ è sicuramente l'estremo superiore, non è $"sup"X$ perchè non è compreso nell'insieme, però è di accumulazione, perchè preso un $L-epsilon$ si prende sempre infiniti punti dell'insieme con quell'intorno.
"clever":
3.Chi mi dice che esiste il minimo dei maggioranti?
Preso un intervallo, limitato superiormente, esiste un estremo superiore che chiameremo $"sup"X$ tale che sia il più piccolo dei maggioranti per quell'insieme $X$.
Basta dunque avere un insieme numerico non vuoto e limitato.
"clever":
4.Cosa si può dire di un insieme compatto e una funzione continua?
L'insieme compatto, è un insieme chiuso e limitato, e dunque è una caratteristica primaria della funzione continua.
Una funzione continua è sempre in un intervallo tipo: $[a,b]$
Derivabile in un intervallo tipo $(a,b)$
Quello che scrivi, quando non è tautologico, o non risponde alla domanda che ti poni oppure è totalmente sbagliato ovvero è espresso in maniera pessima.
Se vuoi continuare a postare qui per avere dei chiarimenti, sei pregato di farlo sforzandoti di seguire i crismi del linguaggio italiano (prima) e di quello matematico (poi).
Altrimenti, se postare qui è solo un modo per esorcizzare le tue paure, t'invito a cercare un'altra valvola di sfogo.
Scusami la durezza, ma sto notando che più vai avanti più peggiori; quindi mi sono sentito in dovere di avvisarti che stai percorrendo un crinale pericoloso per te in quanto studente ed in quanto utente del foro.
Non so come spiegarmi, questo è il punto, in mente so quello che dovrei dire, ma scriverlo è davvero difficile.
Sto ripassando tutti i teoremi.
Fai bene a rimproverarmi, ma alcune cose non riesco a capirle e tento di spiegarle, se vuoi posso elimare quel post.
Mi scuso.
Sto ripassando tutti i teoremi.
Fai bene a rimproverarmi, ma alcune cose non riesco a capirle e tento di spiegarle, se vuoi posso elimare quel post.
Mi scuso.
Non serve eliminare il post, né scusarti; non è questo il punto.
Quello che serve è fare chiarezza nella tua testa.
Ora, non so quanto ti rimanga prima dell'esame; se hai il tempo necessario, ti consiglio di ripetere un paio d'argomenti (od anche uno solo) al giorno, fino a che non li sai esprimere bene ed organicamente.
***
Ricorda:
- Le definizioni sono la prima cosa; se non sai quelle non vai da nessuna parte. Quindi quando cominci un argomento/un discorso all'esame parti sempre dalla definizione.
Dopo la definizione, piazzi casomai qualche considerazione/qualche esempio e poi il/i teorema/i.
- Gli esempi ti permettono di visualizzare i concetti espressi a parole dalle definizioni, perciò sono buoni come "ganci" (nel senso che se non ricordi la definizione di qualcosa, ma ricordi un esempio relativo a quel qualcosa, puoi recuperare abbastanza facilmente la definizione ragionando sull'esempio).
- I teoremi devi saperli enunciare correttamente: assunzioni, ipotesi, tesi.
Ad esempio:
Lì per lì non me lo ricordavo (avrò fatto Analisi I un 9 anni fa, mi pare), ma me lo sono ricavato pensando ad una funzione monotona discontinua (vedi a che servono gli esempi?) e cercando di invertire l'enunciato del Teorema di Bolzano, ossia:
- Per le dimostrazioni il discorso è un po' più complesso: per alcune occorre solo ricordare le definizioni e saperle usare (ad esempio, i vari teoremi sui limiti, oppure le regole di derivazione, l'integrabilità delle funzioni continue, etc...); per altre c'è bisogno di ricordarsi i trucchi (ad esempio per il Teoremi di Lagrange, di Cauchy o di de l'Hôpital); per altri ancora c'è bisogno di memoria perchè sono lunghe e complesse (in Analisi I non ce ne sono tante così, forse nessuna).
Diciamo che alcune devi impararle per forza come sono; altre puoi ricavarle in corso d'opera se le hai capite bene (e ti puoi spingere ad inventarle, ma solo se hai un'ottima padronanza dei concetti di base).
***
Infine, per lo studio della Matematica è necessario un certo ordine (crono)logico.
Le cose le devi studiare nell'ordine in cui ti sono state presentate, non puoi pretendere di mischiare tutto ed avere un quadro chiaro della situazione.
Ed anche quando ripeti prima dell'esame dovresti seguire lo stesso ordine; ciò ti facilita perchè se il professore all'esame ti chiede il teorema sulla regolarità delle successioni monotone, allora sai che non devi usare certi strumenti (che vengono trattati cronologicamente dopo le successioni, come continuità, derivabilità, etc...) ma ne devi usare altri (che vengono trattati prima, come esistenza dell'estremo superiore ed inferiore, loro proprietà, etc...).
Perciò è sempre buona norma avere il programma del corso sempre sotto gli occhi quando si studia: ti aiuta a schematizzare.
Questo è quanto. Non so se questi consigli possano esserti utili, ma lo spero.
Buona notte e buono studio.
P.S.: Scusami per la lunghezza.
P.P.S.: A scanso di equivoci, questo non è un cazziatone, né sono adirato con te in alcun modo.
Quello che serve è fare chiarezza nella tua testa.
Ora, non so quanto ti rimanga prima dell'esame; se hai il tempo necessario, ti consiglio di ripetere un paio d'argomenti (od anche uno solo) al giorno, fino a che non li sai esprimere bene ed organicamente.
***
Ricorda:
- Le definizioni sono la prima cosa; se non sai quelle non vai da nessuna parte. Quindi quando cominci un argomento/un discorso all'esame parti sempre dalla definizione.
Dopo la definizione, piazzi casomai qualche considerazione/qualche esempio e poi il/i teorema/i.
- Gli esempi ti permettono di visualizzare i concetti espressi a parole dalle definizioni, perciò sono buoni come "ganci" (nel senso che se non ricordi la definizione di qualcosa, ma ricordi un esempio relativo a quel qualcosa, puoi recuperare abbastanza facilmente la definizione ragionando sull'esempio).
- I teoremi devi saperli enunciare correttamente: assunzioni, ipotesi, tesi.
Ad esempio:
Teorema inverso del Teorema di Bolzano per funzioni monotone
(detto anche criterio di continuità per le funzioni monotone o cose del genere)
Assunzioni: Siano [tex]$I\subseteq \mathbb{R}$[/tex] un intervallo ed [tex]$f:I\to \mathbb{R}$[/tex] monotona.
Ipotesi: Se [tex]$f(I)$[/tex] è un intervallo,
Tesi: allora [tex]$f$[/tex] è continua in [tex]$I$[/tex].
Lì per lì non me lo ricordavo (avrò fatto Analisi I un 9 anni fa, mi pare), ma me lo sono ricavato pensando ad una funzione monotona discontinua (vedi a che servono gli esempi?) e cercando di invertire l'enunciato del Teorema di Bolzano, ossia:
Teorema di Bolzano
(detto anche teorema dei valori intermedi, se non erro)
Assunzioni: Siano [tex]$I\subseteq \mathbb{R}$[/tex] un intervallo ed [tex]$f:I\to \mathbb{R}$[/tex].
Ipotesi: Se [tex]$f$[/tex] è continua in [tex]$I$[/tex],
Tesi: allora [tex]$f(I)$[/tex] è un intervallo, cioè [tex]$f$[/tex] assume tutti i valori compresi tra [tex]$\inf_I f$[/tex] e [tex]$\sup_I f$[/tex].
- Per le dimostrazioni il discorso è un po' più complesso: per alcune occorre solo ricordare le definizioni e saperle usare (ad esempio, i vari teoremi sui limiti, oppure le regole di derivazione, l'integrabilità delle funzioni continue, etc...); per altre c'è bisogno di ricordarsi i trucchi (ad esempio per il Teoremi di Lagrange, di Cauchy o di de l'Hôpital); per altri ancora c'è bisogno di memoria perchè sono lunghe e complesse (in Analisi I non ce ne sono tante così, forse nessuna).
Diciamo che alcune devi impararle per forza come sono; altre puoi ricavarle in corso d'opera se le hai capite bene (e ti puoi spingere ad inventarle, ma solo se hai un'ottima padronanza dei concetti di base).
***
Infine, per lo studio della Matematica è necessario un certo ordine (crono)logico.
Le cose le devi studiare nell'ordine in cui ti sono state presentate, non puoi pretendere di mischiare tutto ed avere un quadro chiaro della situazione.
Ed anche quando ripeti prima dell'esame dovresti seguire lo stesso ordine; ciò ti facilita perchè se il professore all'esame ti chiede il teorema sulla regolarità delle successioni monotone, allora sai che non devi usare certi strumenti (che vengono trattati cronologicamente dopo le successioni, come continuità, derivabilità, etc...) ma ne devi usare altri (che vengono trattati prima, come esistenza dell'estremo superiore ed inferiore, loro proprietà, etc...).
Perciò è sempre buona norma avere il programma del corso sempre sotto gli occhi quando si studia: ti aiuta a schematizzare.
Questo è quanto. Non so se questi consigli possano esserti utili, ma lo spero.
Buona notte e buono studio.
P.S.: Scusami per la lunghezza.
P.P.S.: A scanso di equivoci, questo non è un cazziatone, né sono adirato con te in alcun modo.
"Forum MatematicaMente":
Usa un linguaggio chiaro e scrivi in italiano corretto
E meno male che chiunque vada a postare qui, è stato perlomeno avvertito.
Comunque, perchè quando si parla di Teorema di Bolzano ci si riferisce sempre al teorema degli zeri, distinguendolo ben bene da quello dei valori intermedi?
Non è la prima volta che trovo omonimie, dovremmo trovare una soluzione; ancora qualcuno sta litigando nel dare la paternità ad una qualsiasi cosa di matematica o fisica che porti il cognome "Bernoulli", dal momento che ne contiamo 6-7 diversi solo della stessa famiglia (e in periodi contigui tra l'altro).
@Gugo: 
Ti sei occupato parecchio di didattica, negli ultimi tempi? Sembrerebbe di si.
@clever: Io sono d'accordo al 100% con Gugo. Anzi, quello che lui dice nel post precedente è precisamente quello che io ho tentato (molto più maldestramente) di spiegarti nelle ultime due settimane.
Ti sei occupato parecchio di didattica, negli ultimi tempi? Sembrerebbe di si.@clever: Io sono d'accordo al 100% con Gugo. Anzi, quello che lui dice nel post precedente è precisamente quello che io ho tentato (molto più maldestramente) di spiegarti nelle ultime due settimane.
"dissonance":
@Gugo:
Sì, ho fatto un po' di cosette...
Ma erano di carattere applicativo (e tra l'altro ho dovuto pure imparare a farli quei benedetti esercizi da ingegnere...
).Penso che quello che ho scritto sia più da catalogare come "dettato dal buon senso dello studente maturo", piuttosto che "dettato da vera esperienza didattica" (quella possono averla Fioravante, Luca, VG, @melia, Admin, ... Ma non certo io che ho cominciato l'altroieri).
Ad ogni modo, ho piacere che ti sia piaciuto dissonance!
P.S.: Per noti accadimenti recenti, non ho letto il forum per un po'; mi ero perso i tuoi scambi con clever.
@Gugu82: grazie per farmi notare alcune cose che spesso a liceo non si è fatto bene, cioè il metodo di studio sbagliato.
Uso sempre gli esempi per trovarmi le definizioni, perchè avendo fatto tantissimi esercizi, mi sono trovato bene nel ricordarli, infatti l'altra volta che ho fatto l'orale mi sono trovato di spiegare una cosa tramite un esempio inventato.
Ma per le definizioni, bhè, ho cercato di studiarle a memoria senza fare la pappardella (cioè senza ragionando).
@dissonance: per due settimane mi hai martellato, ti ringrazio, ho capito la lezione e i prossimi esami, quali di chimica, fisica e Co. procederò dieversamente, segnando giorno per giorno ciò che non saprei dire, e approfondendo con materiale di internet, di biblioteca, e frequentando il forum, ovviamente.
Oggi però mi sono affeccendato a rispondere altre domande di esame, e ho cercato di curarne la spiegazione. Vorrei che ci date una occhiata, se si può.
1. Che cosa vuol dire che una successione è crescente?
1. Una successione è crescente quando è: $a_n!0$.
2.Se una successione è crescente e limitata, il suo limite quale sarà? Il suo limite sarà uguale al $"sup"$ di $a_n$
3.Che proprietà ha una funzione che assume massimo e minimo agli estremi?
3. Questa proposizione che rimanda al teorema di Weirstrass, ha come conseguenza che la funzione assume almeno una volta qualunque valore compreso tra massimo e minimo per il teorema di Darboux.
4.Enunciare il teorema dei carabinieri per le successioni.
Per ipotesi si ha: $a_n->l$, $c_n->l$, $a_n
Si dimostra partendo dalla definizione di limite: $|a_n-l|0$ preso arbitrariamente piccolo.
Qui riporto le due domande che ho posto ieri, sperando di descriverle in maniera più inteleggibile possibile:
1.Chi mi dice che esiste il minimo dei maggioranti?
1. se si prende un insieme limitato superiormente, l'estremo superiore esiste ed è unico.
Questo estremo superiore è un $L$ tale che ogni elemento dell'insieme è minore di $L$, se $L$ appartiente all'insieme è $sup$ dell'insieme considerato, ed è il minimo dei maggioranti a quell'insieme.
2.Cosa si può dire di un insieme compatto e una funzione continua?
2.Un insieme è compatto quando è chiuso e limitato.
Una funzione $f(x)$ è continua in un intervallo $I$, se essa è continua in tutti i punti di $I$.
Una proprietà della funzione continua è che essa è definita su un intervallo $[a,b]$ chiuso e limitato.
ora vanno un pochino meglio?
Uso sempre gli esempi per trovarmi le definizioni, perchè avendo fatto tantissimi esercizi, mi sono trovato bene nel ricordarli, infatti l'altra volta che ho fatto l'orale mi sono trovato di spiegare una cosa tramite un esempio inventato.
Ma per le definizioni, bhè, ho cercato di studiarle a memoria senza fare la pappardella (cioè senza ragionando).
@dissonance: per due settimane mi hai martellato, ti ringrazio, ho capito la lezione e i prossimi esami, quali di chimica, fisica e Co. procederò dieversamente, segnando giorno per giorno ciò che non saprei dire, e approfondendo con materiale di internet, di biblioteca, e frequentando il forum, ovviamente.
Oggi però mi sono affeccendato a rispondere altre domande di esame, e ho cercato di curarne la spiegazione. Vorrei che ci date una occhiata, se si può.
1. Che cosa vuol dire che una successione è crescente?
1. Una successione è crescente quando è: $a_n!
2.Se una successione è crescente e limitata, il suo limite quale sarà? Il suo limite sarà uguale al $"sup"$ di $a_n$
3.Che proprietà ha una funzione che assume massimo e minimo agli estremi?
3. Questa proposizione che rimanda al teorema di Weirstrass, ha come conseguenza che la funzione assume almeno una volta qualunque valore compreso tra massimo e minimo per il teorema di Darboux.
4.Enunciare il teorema dei carabinieri per le successioni.
Per ipotesi si ha: $a_n->l$, $c_n->l$, $a_n
Si dimostra partendo dalla definizione di limite: $|a_n-l|
Qui riporto le due domande che ho posto ieri, sperando di descriverle in maniera più inteleggibile possibile:
1.Chi mi dice che esiste il minimo dei maggioranti?
1. se si prende un insieme limitato superiormente, l'estremo superiore esiste ed è unico.
Questo estremo superiore è un $L$ tale che ogni elemento dell'insieme è minore di $L$, se $L$ appartiente all'insieme è $sup$ dell'insieme considerato, ed è il minimo dei maggioranti a quell'insieme.
2.Cosa si può dire di un insieme compatto e una funzione continua?
2.Un insieme è compatto quando è chiuso e limitato.
Una funzione $f(x)$ è continua in un intervallo $I$, se essa è continua in tutti i punti di $I$.
Una proprietà della funzione continua è che essa è definita su un intervallo $[a,b]$ chiuso e limitato.
ora vanno un pochino meglio?
"clever":
1.Chi mi dice che esiste il minimo dei maggioranti?
1. se si prende un insieme limitato superiormente, l'estremo superiore esiste ed è unico.
Questo estremo superiore è un $L$ tale che ogni elemento dell'insieme è minore di $L$, se $L$ appartiente all'insieme è $"sup"$ dell'insieme considerato, ed è il minimo dei maggioranti a quell'insieme.
La domanda è posta male.
Posso far notare che l'insieme dei maggioranti (di un dato sottoinsieme di [tex]$\mathbb{R}$[/tex]) può essere vuoto o comunque non dotato di minimo in [tex]$\mathbb{R}$[/tex]?
Inoltre la risposta è sbagliata... Anzi secondo me non è nemmeno una risposta.
Voglio dire, ad una domanda del tipo "Chi ti dice che etc...?" si risponde "Me lo dicono questo fatto e quest'altro"; invece la tua risposta è del tipo "È così perchè è così", ed è quanto di più sbagliato possa esistere.
Rileggi la domanda e riformula la risposta.
"clever":
2.Cosa si può dire di un insieme compatto e una funzione continua?
2.Un insieme è compatto quando è chiuso e limitato.
Una funzione $f(x)$ è continua in un intervallo $I$, se essa è continua in tutti i punti di $I$.
Una proprietà della funzione continua è che essa è definita su un intervallo $[a,b]$ chiuso e limitato.
Vebbè dai...
Perchè ti pare che l'applicazione [tex]$]0,1[\ni x\mapsto x^2 \in \mathbb{R}$[/tex] non sia continua in [tex]$]0,1[$[/tex]?
E [tex]$]0,1[$[/tex] è compatto?
Te lo ripeto per l'ennesima volta: pretendere di ripetere il programma "a macchia di leopardo" usando le domande che il tuo prof. ha fatto agli esami è sbagliato. Ti consiglio di seguire un'altra strada.
E' questa la domanda che fa di solito il professore ''chi mi dice che...'' ''cosa si dice in questo teorema''.
Ripeto, non è che stia ripetendo a casaccio le domande del professore, ma soltato che mi sto soffermando su quelle che non so dare una risposta.
Non è mancanza di impegno
Sulla seconda domanda per esempio mi sono basato sulla proposizione sul libro che mi ha prestato su pdf dissonance, che riporta tre proposizioni legate tra loro.
Una funzione continua è definita sempre su un intervallo del tipo $[a,b]$
In una funzione continua c'è massimo e minimo
e la terza proposizione è di Darboux.
quello che mi riporti tu, $]0,1[$ non è compatto, questa simbologia di ]...[ vuol dire che è aperto? (non la ricordo questa simbologia qui)
Ripeto, non è che stia ripetendo a casaccio le domande del professore, ma soltato che mi sto soffermando su quelle che non so dare una risposta.
Non è mancanza di impegno
Sulla seconda domanda per esempio mi sono basato sulla proposizione sul libro che mi ha prestato su pdf dissonance, che riporta tre proposizioni legate tra loro.
Una funzione continua è definita sempre su un intervallo del tipo $[a,b]$
In una funzione continua c'è massimo e minimo
e la terza proposizione è di Darboux.
quello che mi riporti tu, $]0,1[$ non è compatto, questa simbologia di ]...[ vuol dire che è aperto? (non la ricordo questa simbologia qui)
"clever":
E' questa la domanda che fa di solito il professore ''chi mi dice che...'' ''cosa si dice in questo teorema''.
Ripeto, non è che stia ripetendo a casaccio le domande del professore, ma soltato che mi sto soffermando su quelle che non so dare una risposta.
Non è mancanza di impegno
Sulla seconda domanda per esempio mi sono basato sulla proposizione sul libro che mi ha prestato su pdf dissonance, che riporta tre proposizioni legate tra loro.
Una funzione continua è definita sempre su un intervallo del tipo $[a,b]$
In una funzione continua c'è massimo e minimo
e la terza proposizione è di Darboux.
quello che mi riporti tu, $]0,1[$ non è compatto, questa simbologia di ]...[ vuol dire che è aperto? (non la ricordo questa simbologia qui)
Io non metto in dubbio il tuo impegno, ma mi pare che il tuo metodo di studio è quanto di meno si possa consigliare ad uno studente di matematica; inoltre, permettimi di provare un minimo di stupore se vedo una persona che studia concetti di analisi 1 non proprio semplicissimi che non conosce una notazione del tipo ]a, b[. Ad alcuni piace scrivere così, io personalmente preferisco scrivere $(a,b)$. Con a e b finiti, si intende un insieme che non contiene i suoi estremi. Ora, col rischio magari di sbagliare a mia volta, credo che le cose che ho sottolineato in rosso nel tuo post non siano affatto vere.
Forse le hai trascritte male, ma la prima proposizione cosa intende con $[a,b]$? Magari si intende che a e b possano anche non essere finiti, ma il fatto che l'insieme sia chiuso mi porta ad escludere questa ipotesi; allora, provando a trascrivere meglio la tua frase: dire che una funzione definita su tutto un intervallo $[a,b]$ con $a, b, in RR$ è continua, già è diverso, ma comunque sarebbe sbagliato perchè la funzione potrebbe avere un punto di salto all'interno dell'intervallo (in cui è definita). Oltretutto, volevi intendere il teorema che dice che l'immagine di un insieme compatto è a sua volta un insieme compatto, se la funzione che lo trasforma è continua?
In una funzione continua c'è massimo è minimo, che vuol dire? Non c'è un avverbio in questa frase. Intendi che c'è sempre? C'è qualche volta? Perchè se intendi che c'è sempre, è sbagloat. $x^2$ è continua in tutto il suo dominio, ma l'immagine non ammette massimo. Ha un estremo superiore, questo sì.
Secondo me il tuo problema sta tutto sul metodo. E' come pretendere di diventare pittori guardando a lungo le tele dipinte da altri. Possono ispirarti, ma se tu non hai mai intinto un pennello nel colore, dove vuoi andare? Poi prendi una matita, abbozzi qualcosa infrangendo tutte le leggi della proporzione, e poi chiedi a chi ha studiato con rigore se stai facendo bene o no.
Allora la proposizione che tentavo di ricordare è:
Proprietà delle funzioni continue:
Sia $f:[a,b]->RR$ continua. allora:
1. $f$ è limitata in $[a,b]$
2. $f$ ammette minimo e massimo
3. $f$ assume, almeno una volta qualunque valore compreso tra il minimo e il massimo. (teorema di Darboux)
Il teorema di Bolzano e dei valori intermedi: presa una funzione $f$ definita su [a,b] e continua in $RR$, ha $m$ come minimo e $M$ come massimo allora per ipotesi $m
Il teorema inverso di Bolzano: una funzione monotona, il cui codominio è un intervallo, è continua.
$(a,b)$ insieme aperto non contenente $a$ e $b$
$[a,b]$ insieme chiuso e limitato, con $a$ e $b$ compresi nell'insieme. $a$ e $b$ in questo caso sono anche punti di frontiera. $a$ e $b$ sono anche min, e max rispettivamente
Vi trovate con me?
Proprietà delle funzioni continue:
Sia $f:[a,b]->RR$ continua. allora:
1. $f$ è limitata in $[a,b]$
2. $f$ ammette minimo e massimo
3. $f$ assume, almeno una volta qualunque valore compreso tra il minimo e il massimo. (teorema di Darboux)
Il teorema di Bolzano e dei valori intermedi: presa una funzione $f$ definita su [a,b] e continua in $RR$, ha $m$ come minimo e $M$ come massimo allora per ipotesi $m
Il teorema inverso di Bolzano: una funzione monotona, il cui codominio è un intervallo, è continua.
$(a,b)$ insieme aperto non contenente $a$ e $b$
$[a,b]$ insieme chiuso e limitato, con $a$ e $b$ compresi nell'insieme. $a$ e $b$ in questo caso sono anche punti di frontiera. $a$ e $b$ sono anche min, e max rispettivamente
Vi trovate con me?
"ObServer":Non solo un punto di salto. Ci sono tanti modi per una funzione di essere discontinua... Ci sono addirittura delle funzioni discontinue ovunque, in ogni punto del proprio dominio. Esempio semplice:
dire che una funzione definita su tutto un intervallo $[a,b]$ con $a, b, in RR$ è continua, già è diverso, ma comunque sarebbe sbagliato perchè la funzione potrebbe avere un punto di salto all'interno dell'intervallo (in cui è definita).
$chi_{QQ}(x)={(1, x\inQQ), (0, x \notin QQ):}$.
Questa funzione $RR \to RR$ è discontinua in ogni punto di $RR$; ciò segue dal fatto che sia $QQ$ sia $RR \setminus QQ$ sono densi in $RR$. Infatti per ogni $x_0\inRR$ possiamo trovare due successioni $(p_n)_{n\inNN}, (q_n)_{n \inNN}$ di numeri razionali ed irrazionali rispettivamente, tali che $p_n \to x_0,\ q_n \to x_0$. Allora $chi_{QQ}(p_n)=1, chi_{QQ}(q_n)=0$ per ogni $n$, quindi $chi_{QQ}$ non è continua in $x_0$.
@clever: La prima affermazione è corretta. Dalla seconda inizi a sbagliare (anzi, per dirla tutta, la seconda e la terza sono senza senso). Ti riscrivo la seconda, poi vado a dormire e ti consiglio di fare altrettanto se domani hai l'esame.
Teorema di Bolzano o dei valori intermedi: Sia $f$ una funzione continua nell'intervallo $I$ (non necessariamente chiuso e limitato, nota). Siano $m="inf" f(x), M="sup" f(x)$ (sono numeri reali estesi, eventualmente $m=-infty, M=+infty$). Per ogni $lambda \in RR,\ m
Caso particolare: se l'intervallo $I$ è chiuso e limitato, allora per il teorema di Weierstrass $m$ ed $M$ sono numeri reali (quindi niente $+-infty$) e sono valori assunti dalla $f$, precisamente il valore minimo e il valore massimo rispettivamente.
Buonanotte a tutti e in bocca al lupo a clever.
Per ulteriori esempi ed esercizi interessanti sulla continuità consiglio l'eserciziario di De Michele-Forti, che è stato messo a disposizione gratuitamente sul sito del prof.Soardi, qui. Mi riferisco al capitolo "continuità". Attenzione: gli esercizi di questo libro non sono semplici.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo