Domande dell'esame orale: estremo superiore

[indovina]

All'orale mi sono state fatte domande sull'estremo superiore, inferiore, e il maggiorante, e successioni di ricorrenza.
Per capirci, per spiegare ciò, ho preso degli esempi, e vorrei controllarli con voi, per vedere se posso riutilizzarli o no.

Esempio di successione di ricorrenza:
a sistema:
$a_1=1$
$a_(n)=(a_(n-1))/n$


Esempio di estremo superiore:
$(-oo,+3]$

Qui l'estremo superiore coincide con $3$.

se fosse stato:
$[-1,+oo)$ $-1$ era un estremo inferiore.

Se invece è: $(-oo,+3)$ esiste un maggiorante per esempio $5$ che funge da estremo superiore, e $3$ è il minimo dei maggioranti.

Io però, vorrei dire attraverso questi esempi cosa è una successione di ricorrenza, estremo superiore e inferiore.
Ma come spiegarli?
Non riesco a capire perchè dovrei partire dalla definizione, e non più semplicemente da un esempio.
Grazie!

[Seneca1]

"clever":Se invece è: $(-oo,+3)$ esiste un maggiorante per esempio $5$ che funge da estremo superiore, e $3$ è il minimo dei maggioranti.

Uhm? Non è che qualsiasi maggiorante funge da estremo superiore. Nel tuo caso l'estremo superiore è $3$, non $5$. Una proprietà dell'estremo superiore è quella di essere il più piccolo dei maggioranti.

[indovina]

E cosa è un maggiorante? $5$ non è un maggiorante?

[Seneca1]

$5$ è fuor di dubbio un maggiorante, ma non è l'estremo superiore.

[G.D.5]

Ma non è più semplice usar la definizione e poi fare l'esempio, anziché procedere attraverso una specie di genesi del concetto passando dall'esempio alla definizione in sede d'esame?

[dissonance]

WiZ ha ragione, clever. Su questo credo tu debba lavorare: quando approcci un oggetto nuovo, PRIMA impara la definizione POI fabbricati degli esempi. Non puoi sostituire una definizione con degli esempi. Inoltre, cerca di esprimerti in un linguaggio più preciso possibile.

[indovina]

Voglio fare una domanda, che riguardi sempre questo argomento
Ho visto sul sito la dimostrazione del teorema di Weirstrass.
E incomincia così:
Sia $M$ l'estremo superiore dell'$Im(f)$.
Cosa significa questo $Im(f)$?

queste sono le ipotesi:
$f:[a;b]->RR$ è continua
quindi è un insieme compatto, chiuso e limitato.

la tesi è:
$f$ ha un massimo e minimo in $[a,b]$
quindi esiste un massimo $M$ e un minimo $m$ tale che:
$f(m)

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[Seneca1]

"clever":
Cosa significa questo $Im(f)$?

E' l'insieme immagine. L'insieme dei valori che la $f$ assume.