Domande criteri serie
Ciao a tutti, ho due domande da farvi:
1) Per Leibniz, una serie a segni alterni converge se e solo se la successione associata al termine generale è definitivamente decrescente. Per cui, è giusto affermare che quando studio la derivata, posso dire che questa condizione è rispettata quando trovo che essa è negativa su un intervallo del tipo $(a, +∞)$ con $a$ in $RR$ esteso?
2) Quando studio la convergenza assoluta su $|a_n|$ e applico il rapporto o la radice, ottengo un certo$alpha$ come risultato del limite; affinché si abbia convergenza $alpha$ deve essere minore di uno (strettamente). Ma se $alpha>1$ (il caso $alpha=1$ so che significa semplicemente che devo trovare un'altra strada) cosa posso dire sulla serie? Sicuramente $|a_n|$ diverge, ma posso dire che anche $a_n$ diverge?
In generale so che il fatto che una serie non converga assolutamente non implica che non converga semplicemente, ma se $alpha>1$ non significa che il termine generale non va a $0$ definitivamente e che quindi la condizione necessaria di Cauchy per la convergenza viene a mancare?
Grazie a chiunque vorrà chiarire questi dubbi
1) Per Leibniz, una serie a segni alterni converge se e solo se la successione associata al termine generale è definitivamente decrescente. Per cui, è giusto affermare che quando studio la derivata, posso dire che questa condizione è rispettata quando trovo che essa è negativa su un intervallo del tipo $(a, +∞)$ con $a$ in $RR$ esteso?
2) Quando studio la convergenza assoluta su $|a_n|$ e applico il rapporto o la radice, ottengo un certo$alpha$ come risultato del limite; affinché si abbia convergenza $alpha$ deve essere minore di uno (strettamente). Ma se $alpha>1$ (il caso $alpha=1$ so che significa semplicemente che devo trovare un'altra strada) cosa posso dire sulla serie? Sicuramente $|a_n|$ diverge, ma posso dire che anche $a_n$ diverge?
In generale so che il fatto che una serie non converga assolutamente non implica che non converga semplicemente, ma se $alpha>1$ non significa che il termine generale non va a $0$ definitivamente e che quindi la condizione necessaria di Cauchy per la convergenza viene a mancare?
Grazie a chiunque vorrà chiarire questi dubbi
Risposte
1) Innanzitutto, il criterio di Leibniz non stabilisce alcuna equivalenza.
Ad esempio, la serie:
$sum ((-1)^n)/(n^(2+(1+(-1)^n)/2))$
converge, anche se la successione dei moduli degli addendi non è affatto decrescente.
Detto ciò, la condizione sulla derivata che citi (quando questa è di qualche utilità) è proprio quella che ti serve.
2) In generale, se $sum |a_n|$ diverge, la $sum a_n$ può fare ciò che vuole (convergere, divergere o essere indeterminata).
Per renderti conto di questo fatto, puoi provare a trovare degli esempi.
Ad esempio, la serie:
$sum ((-1)^n)/(n^(2+(1+(-1)^n)/2))$
converge, anche se la successione dei moduli degli addendi non è affatto decrescente.
Detto ciò, la condizione sulla derivata che citi (quando questa è di qualche utilità) è proprio quella che ti serve.
2) In generale, se $sum |a_n|$ diverge, la $sum a_n$ può fare ciò che vuole (convergere, divergere o essere indeterminata).
Per renderti conto di questo fatto, puoi provare a trovare degli esempi.
Ciao, grazie per la risposta gugo. Sulla prima domanda ci sono; sulla seconda, ecco la serie che mi ha fatto sorgere il dubbio:
$sum_(n=2)^(∞)(2alpha+1)^nlognsinh(1/n)$
Applicando il criterio della radice al termine generale in valore assoluto si ottiene $l=|2alpha+1|$ e il docente conclude che se $|2alpha+1|>1$ la serie diverge perché non è soddisfatto il criterio di Cauchy.
In generale però per i valori per cui la serie non converge assolutamente potrebbe ancora convergere semplicemente. Ma che criteri posso applicare se non è a termini positivi né a termini alterni? Posso solo fare considerazioni sulla condizione di Cauchy?
$sum_(n=2)^(∞)(2alpha+1)^nlognsinh(1/n)$
Applicando il criterio della radice al termine generale in valore assoluto si ottiene $l=|2alpha+1|$ e il docente conclude che se $|2alpha+1|>1$ la serie diverge perché non è soddisfatto il criterio di Cauchy.
In generale però per i valori per cui la serie non converge assolutamente potrebbe ancora convergere semplicemente. Ma che criteri posso applicare se non è a termini positivi né a termini alterni? Posso solo fare considerazioni sulla condizione di Cauchy?
La faccenda è più semplice di quanto non appaia.
Se $|2alpha +1|>1$, allora non è soddisfatta la condizione necessaria alla convergenza della serie.
In particolare, se $2alpha +1>1$, gli addendi divergono positivamente e perciò pure la serie diverge positivamente; se, invece, $2alpha +1<-1$ la serie oscilla.
Per $|2alpha +1|<1$ hai convergenza assoluta per ordine di infinitesimo.
Per $2alpha +1=1$ hai divergenza per confronto con la serie armonica.
Per $2alpha +1=-1$ mi aspetto convergenza per Leibniz, ma posso sbagliare.
Prova a dimostrare questi fatti.
Se $|2alpha +1|>1$, allora non è soddisfatta la condizione necessaria alla convergenza della serie.
In particolare, se $2alpha +1>1$, gli addendi divergono positivamente e perciò pure la serie diverge positivamente; se, invece, $2alpha +1<-1$ la serie oscilla.
Per $|2alpha +1|<1$ hai convergenza assoluta per ordine di infinitesimo.
Per $2alpha +1=1$ hai divergenza per confronto con la serie armonica.
Per $2alpha +1=-1$ mi aspetto convergenza per Leibniz, ma posso sbagliare.
Prova a dimostrare questi fatti.
Allora, non ho nessun problema con gli ultimi tre caso della lista. Il mio dubbio sta nel caso $|2a-1|>1$; infatti, qui non si ha convergenza assoluta. Devo passare alla serie senza modulo: il punto però è che tale su tale serie non essendo essa a termini positivi non posso applicare alcun criterio.
Quindi in questo caso specifico posso arrivare alla soluzione facendo considerazioni sul limite all'infinito del termine generale; a questo punto mi chiedo, è giusto dire che questa è sempre l'unica strada possibile per dimostrare la (non) convergenza delle serie in intervalli del parametro per i quali non posso applicare alcun criterio? E se il termine generale dovesse andare a zero per quei valori come dovrei comportarmi (o addirittura, è possibile che ciò avvenga?)
Perdonami la scarsa chiarezza, dovuta in parte alla mia confusione e in parte all'ora. Comunque spero che almeno il punto centrale del mio discorso sia comprensibile.
Comunque grazie per l'attenzione che mi presti.
Quindi in questo caso specifico posso arrivare alla soluzione facendo considerazioni sul limite all'infinito del termine generale; a questo punto mi chiedo, è giusto dire che questa è sempre l'unica strada possibile per dimostrare la (non) convergenza delle serie in intervalli del parametro per i quali non posso applicare alcun criterio? E se il termine generale dovesse andare a zero per quei valori come dovrei comportarmi (o addirittura, è possibile che ciò avvenga?)
Perdonami la scarsa chiarezza, dovuta in parte alla mia confusione e in parte all'ora. Comunque spero che almeno il punto centrale del mio discorso sia comprensibile.
Comunque grazie per l'attenzione che mi presti.
"Jeronimus":
Allora, non ho nessun problema con gli ultimi tre caso della lista. Il mio dubbio sta nel caso $|2a-1|>1$; infatti, qui non si ha convergenza assoluta. Devo passare alla serie senza modulo: il punto però è che tale su tale serie non essendo essa a termini positivi non posso applicare alcun criterio.
Ciò non è vero. Infatti, i termini sono positivi per $2alpha +1>1$.
Inoltre, nota che gli addendi hanno i segni alterni per $2alpha +1<-1$.
"Jeronimus":
Quindi in questo caso specifico posso arrivare alla soluzione facendo considerazioni sul limite all'infinito del termine generale; a questo punto mi chiedo, è giusto dire che questa è sempre l'unica strada possibile per dimostrare la (non) convergenza delle serie in intervalli del parametro per i quali non posso applicare alcun criterio? E se il termine generale dovesse andare a zero per quei valori come dovrei comportarmi (o addirittura, è possibile che ciò avvenga?)
Nei due casi $2alpha +1>1$ e $2alpha +1<-1$ la serie non soddisfa la Condizione Necessaria alla Convergenza (la successione degli addendi non è infinitesima), quindi non converge.
Per quanto detto sui segni nel primo caso, si vede facile che la serie diverge positivamente.
Il caso "brutto" è il secondo, in cui gli addendi hanno segni alterni.
In questo caso, dato che non c'è convergenza, le possibilità sono tre: divergenza positiva, divergenza negativa, indeterminatezza.
"A occhio", ci dovrebbe essere indeterminatezza, poiché mi sembra che (almeno definitivamente) i contributi degli addendi positivi e negativi non si bilancino decentemente ed ,anzi, che le due sottosuccessioni di addendi positivi e negativi tendano a "tirare" le somme parziali nelle due direzioni opposte.
Ah, adesso vedo. Anche se mi è rimasto un po' il dubbio in generale, infatti ho postato un altro esercizio problematico...
Comunque grazie mille!
Comunque grazie mille!
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