Domanda Urgente per moltiplicatori di lagrange
purtroppo mi sfugge ancora qualcosa su questo concetto...vi mostro le mie perplessita' vi prego di chiarirle:
ho due funzioni a due variabili:
f(x,y)
g(x,y)=0
voglio i max e min della funzione f lungo la curva g
so che nella curva g il gradiente è perpendicolare in ogni punto al vettore tangente
ora se nella f voglio un max o min devo imporre 0 le derivate:ma allora come faccio a dire che in quei punti il vettore grad della f è parallelo a quello della g quando , essendo 0 le derivate il vettore della f dovrebbe essere nullo?
ho due funzioni a due variabili:
f(x,y)
g(x,y)=0
voglio i max e min della funzione f lungo la curva g
so che nella curva g il gradiente è perpendicolare in ogni punto al vettore tangente
ora se nella f voglio un max o min devo imporre 0 le derivate:ma allora come faccio a dire che in quei punti il vettore grad della f è parallelo a quello della g quando , essendo 0 le derivate il vettore della f dovrebbe essere nullo?
Risposte
Ma... la formuletta?
definisci la lagrangiana $L(x,y,z)=f(x,y)+zg(x,y)$
th: gli estremi di $f$ lungo il vincolo $g=0$ sono fra gli estremi di $L$...
In particolare puoi andare a considerare il sistema differenziale $\gradL=0$, costituito
dalle equazioni
1) $f_x+zg_x=0$
2) $f_y+zg_y=0$
3) $g=0$
ovviamente fra le soluzioni che trovi devi vedere quelle che appartengono al vincolo
descritto da $g$ e vedere quali sono minimi e massimi e semmai considerare a parte i casi
estremali, cioè le intersezioni delle curva $g=0$ col dominio della funzione.. insomma tutto come al solito..
definisci la lagrangiana $L(x,y,z)=f(x,y)+zg(x,y)$
th: gli estremi di $f$ lungo il vincolo $g=0$ sono fra gli estremi di $L$...
In particolare puoi andare a considerare il sistema differenziale $\gradL=0$, costituito
dalle equazioni
1) $f_x+zg_x=0$
2) $f_y+zg_y=0$
3) $g=0$
ovviamente fra le soluzioni che trovi devi vedere quelle che appartengono al vincolo
descritto da $g$ e vedere quali sono minimi e massimi e semmai considerare a parte i casi
estremali, cioè le intersezioni delle curva $g=0$ col dominio della funzione.. insomma tutto come al solito..
ti ringrazio ma forse mi sono spiegato male:devo dare l'orale di analisi 2 ,la formuletta la conosco..è il passaggio logico intermedio che non mi è chiaro...non capisco perche' il grad di f è parallelo a quello di g , quando dovrebhbe essere 0 in quanto le derivate di f sono 0 nei punti che mi interessano...
Nei problemi di estremo condizionato non deve essere nullo
il gradiente della funzione f da " ottimizzare" ma quello della funzione
f-Lg ( dove L e' il moltiplicatore).
Quindi deve risultare :
$f_x-Lg_x=0,f_y-Lg_y=0$ che, sotto certe condizioni,si puo' anche scrivere:
$(f_x)/(g_x)=(f_y)/(g_y)$ ,equivalente al parallelismo di grad(f) e grad(g).
karl
il gradiente della funzione f da " ottimizzare" ma quello della funzione
f-Lg ( dove L e' il moltiplicatore).
Quindi deve risultare :
$f_x-Lg_x=0,f_y-Lg_y=0$ che, sotto certe condizioni,si puo' anche scrivere:
$(f_x)/(g_x)=(f_y)/(g_y)$ ,equivalente al parallelismo di grad(f) e grad(g).
karl
si ma io vorrei capire i ragionamenti pratici che stanno dietro a tutto questo...le formule le so..faccciamo cosi:immaginiamo che i moltiplicatori di lagrange non ancora li abbia scoperti nessuno...io per primo mi pongo il problema che vi ho esposto...qual'è il ragionamento pratico che mi porta a formulare la lagrangiana?e perche' i grad devono essere paralleli(dal punto di vista solo geometrico e senza formule)?
"FreshBuddy":
...non capisco perche' il grad di f è parallelo a quello di g , quando dovrebhbe essere 0 in quanto le derivate di f sono 0 nei punti che mi interessano...
Ho risposto esattamente a quello che hai chiesto ,facendoti notare che ,nei problemi
di estremo condizionato,non e' il gradiente di f che si deve annullare.
Eliminando così i tuoi dubbi sul fatto (errato) che le derivate di f dovessero essere zero.
L'interpretazione geometrica e' altra cosa ma credo che senza calcoli sia dura da spiegare.
Vediamo se qualche altro ci riesce.
karl
ok adesso ho capito che il fgrad della f è diversop da 0....il grad della g è sempre perpendiclare alla tg...il resto pero..?
possibile che questa domanda abbia creato cosi' tante difficolta'?
Il gradiente di g è proprio perpendicolare al gradiente di f. E questo deriva dalla "formuletta". Infatti imponendo che su ogni asse la derivata di f+zg sia nulla, imponi che a meno di prodotti di costante sono lo stesso vettore, i.e. sono paralleli.
si ma io al prof gli devo spiegare PRIMA che i grad sonoparalleli e POI gliu ricavo la formuletta...lui cosi' ce l'ha spiegato anche se molto approssimativamente
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