Domanda Teorica sullo svolgimento delle Serie ...
siccome domani ho l'esame di Analisi mi stanno venendo i "dubbi" dell'ultim'ora... allora:
per quanto riguarda le serie, se io utilizzo uno dei criteri (infinitesimi, radice etc.) posso poi utilizzare taylor per scomporla ulteriormente? e se no, Taylor và utilizzato solo ed esclusivamente in coppia con il criterio degli infinitesimi?
vi faccio un esempio:
$lim x-> oo [1/n - log(1 + 1/n)]^n$ applico il criterio della radice e mi ritrovo con $lim x->oo [1/n - log(1 + 1/n)] $, posso scomporre con Taylor o no visto che ho usato precendentemente il criterio della radice? e se lo posso usare devo perforza usare in concomitanza il criterio degli infinitesimi? o posso calcolare direttamente il limite? (ve lo chiedo perchè dagli esercizi che ho svolto l'ho sempre usato nel momento in cui applicavo il suddetto criterio, e non in altri casi)...
per quanto riguarda le serie, se io utilizzo uno dei criteri (infinitesimi, radice etc.) posso poi utilizzare taylor per scomporla ulteriormente? e se no, Taylor và utilizzato solo ed esclusivamente in coppia con il criterio degli infinitesimi?
vi faccio un esempio:
$lim x-> oo [1/n - log(1 + 1/n)]^n$ applico il criterio della radice e mi ritrovo con $lim x->oo [1/n - log(1 + 1/n)] $, posso scomporre con Taylor o no visto che ho usato precendentemente il criterio della radice? e se lo posso usare devo perforza usare in concomitanza il criterio degli infinitesimi? o posso calcolare direttamente il limite? (ve lo chiedo perchè dagli esercizi che ho svolto l'ho sempre usato nel momento in cui applicavo il suddetto criterio, e non in altri casi)...
Risposte
Io la serie la risolverei così. Innanzitutto direi che la successione è asintotica a $(1/(2n^2))^n$. Poi applicherei il criterio della radice, e, siccome il limite viene 0, la serie converge.
"Soscia":
Io la serie la risolverei così. Innanzitutto direi che la successione è asintotica a $(1/(2n^2))^n$. Poi applicherei il criterio della radice, e, siccome il limite viene 0, la serie converge.
perchè è asintotica a $[1/2n^2]^n$? (anche se il confronto asintotico non l'abbiamo trattato)...
[mod="dissonance"]@Ma.Gi.Ca.D: Per favore, cambia il titolo mettendo qualcosa di più esplicativo (regolamento 3.3). Grazie.[/mod]
[quote=dissonance][/quote]
provvedo subito
...
provvedo subito
...
"Ma.Gi.Ca. D":
[quote="Soscia"]Io la serie la risolverei così. Innanzitutto direi che la successione è asintotica a $(1/(2n^2))^n$. Poi applicherei il criterio della radice, e, siccome il limite viene 0, la serie converge.
perchè è asintotica a $[1/2n^2]^n$? (anche se il confronto asintotico non l'abbiamo trattato)...[/quote]
Perchè, sviluppando con McLaurin al secondo ordine, abbiamo: $(1/n-1/n+1/(2n^2)+o(1/(2n^2)))^n=((1/(2n^2))(1+o(1)))^n$
"Soscia":
[quote="Ma.Gi.Ca. D"][quote="Soscia"]Io la serie la risolverei così. Innanzitutto direi che la successione è asintotica a $(1/(2n^2))^n$. Poi applicherei il criterio della radice, e, siccome il limite viene 0, la serie converge.
perchè è asintotica a $[1/2n^2]^n$? (anche se il confronto asintotico non l'abbiamo trattato)...[/quote]
Perchè, sviluppando con McLaurin al secondo ordine, abbiamo: $(1/n-1/n+1/(2n^2)+o(1/(2n^2)))^n=((1/(2n^2))(1+o(1)))^n$[/quote]
capisco
con questa risposta mi hai risposto completamente a tutte le domande che ho posto, ti ringrazio! ...
però potrei anche rimanere lo sviluppo di McLaurin al primo ordine, otterrei il $lim x->oo 0 + o(1/n)$ che farebbe 0... un'ultima domanda ma posso applicare McLaurin in qualunque caso (sempre nel caso in cui sia utile, scsate il gioco di parole) oppure devo limitarmi ai casi in cui trovo $1/n$ e simili che per $lim ->oo$ tendono a 0?...
sei daccordo sul primo punto?...
"Ma.Gi.Ca. D":
però potrei anche rimanere lo sviluppo di McLaurin al primo ordine, otterrei il $lim x->oo 0 + o(1/n)$ che farebbe 0... un'ultima domanda ma posso applicare McLaurin in qualunque caso (sempre nel caso in cui sia utile, scsate il gioco di parole) oppure devo limitarmi ai casi in cui trovo $1/n$ e simili che per $lim ->oo$ tendono a 0?...
Ha senso applicare gli sviluppi di Taylor-McLaurin solamente se devi approssimare una funzione nell'intorno di 0, oppure di un numero diverso da infinito (facendo opportuni cambi di variabile).
"Ma.Gi.Ca. D":
sei daccordo sul primo punto?...
Si, però ricordati che tutto è elevato alla $n$. A quel punto puoi applicare il criterio della radice. Quello che hai detto mi sembra corretto, però, per sicurezza è meglio "non tirare troppo la corda", nel senso che, se dopo una semplificazione asintotica ti rimane un "o-piccolo", spesso non è possibile trarre conclusioni corrette. In questo caso fermarsi al primo ordine mi sembra sufficiente, però, se ad esempio stai calcolando un limite e dopo aver approssimato ti rimane solo un o piccolo, significa che non hai approssimato sufficientemente.
"Soscia":
[quote="Ma.Gi.Ca. D"]sei daccordo sul primo punto?...
Si, però ricordati che tutto è elevato alla $n$. A quel punto puoi applicare il criterio della radice. Quello che hai detto mi sembra corretto, però, per sicurezza è meglio "non tirare troppo la corda", nel senso che, se dopo una semplificazione asintotica ti rimane un "o-piccolo", spesso non è possibile trarre conclusioni corrette. In questo caso fermarsi al primo ordine mi sembra sufficiente, però, se ad esempio stai calcolando un limite e dopo aver approssimato ti rimane solo un o piccolo, significa che non hai approssimato sufficientemente.[/quote]
ehm... non ho capito... potresti farmi un esempio?...
"Ma.Gi.Ca. D":
[quote="Soscia"][quote="Ma.Gi.Ca. D"]sei daccordo sul primo punto?...
Si, però ricordati che tutto è elevato alla $n$. A quel punto puoi applicare il criterio della radice. Quello che hai detto mi sembra corretto, però, per sicurezza è meglio "non tirare troppo la corda", nel senso che, se dopo una semplificazione asintotica ti rimane un "o-piccolo", spesso non è possibile trarre conclusioni corrette. In questo caso fermarsi al primo ordine mi sembra sufficiente, però, se ad esempio stai calcolando un limite e dopo aver approssimato ti rimane solo un o piccolo, significa che non hai approssimato sufficientemente.[/quote]
ehm... non ho capito... potresti farmi un esempio?...[/quote]
$lim_(n->+oo)$ $(1/n-log(1+(1/n))$. Se semplifichi con McLaurin, devi farlo necessariamente al secondo ordine. Se lo fai al primo, ottieni: $1/n-1/n+o(1/n)=o(1/n)$, che non ti dà nessuna informazione.
"Soscia":
[quote="Ma.Gi.Ca. D"][quote="Soscia"][quote="Ma.Gi.Ca. D"]sei daccordo sul primo punto?...
Si, però ricordati che tutto è elevato alla $n$. A quel punto puoi applicare il criterio della radice. Quello che hai detto mi sembra corretto, però, per sicurezza è meglio "non tirare troppo la corda", nel senso che, se dopo una semplificazione asintotica ti rimane un "o-piccolo", spesso non è possibile trarre conclusioni corrette. In questo caso fermarsi al primo ordine mi sembra sufficiente, però, se ad esempio stai calcolando un limite e dopo aver approssimato ti rimane solo un o piccolo, significa che non hai approssimato sufficientemente.[/quote]
ehm... non ho capito... potresti farmi un esempio?...[/quote]
$lim_(n->+oo)$ $(1/n-log(1+(1/n))$. Se semplifichi con McLaurin, devi farlo necessariamente al secondo ordine. Se lo fai al primo, ottieni: $1/n-1/n+o(1/n)=o(1/n)$, che non ti dà nessuna informazione.[/quote]
ah capito grazie mille!
...
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