Domanda teorica sulla differenziabilità
Ciao a tutti, io ho questo quesito a risposta multipla:
Sia $ D sube \mathbb{R}^n$, aperto e sia $f: D\to \mathbb{R}$. Quale delle seguenti condizioni è sufficiente ad
affermare che è differenziabile in tutti i punti di $D$?
(a) $f \in C^2(D)$.
(b) $f$ è derivabile parzialmente in ogni punto di $D$.
(c) $f$ è derivabile lungo ogni direzione in ogni punto di $D$.
(d) $f \in C(D)$.
Io ho pensato che, per il teorema del differenziale totale, la condizione sufficiente fosse che $f \in C^1(D)$, cioè la D.
Tuttavia nelle soluzioni date dal mio professore la risposta sarebbe la A.
Qualcuno riesce ad aiutarmi a capire?
Sia $ D sube \mathbb{R}^n$, aperto e sia $f: D\to \mathbb{R}$. Quale delle seguenti condizioni è sufficiente ad
affermare che è differenziabile in tutti i punti di $D$?
(a) $f \in C^2(D)$.
(b) $f$ è derivabile parzialmente in ogni punto di $D$.
(c) $f$ è derivabile lungo ogni direzione in ogni punto di $D$.
(d) $f \in C(D)$.
Io ho pensato che, per il teorema del differenziale totale, la condizione sufficiente fosse che $f \in C^1(D)$, cioè la D.
Tuttavia nelle soluzioni date dal mio professore la risposta sarebbe la A.
Qualcuno riesce ad aiutarmi a capire?
Risposte
"Albi":
Io ho pensato che, per il teorema del differenziale totale, la condizione sufficiente fosse che $f \in C^1(D)$, cioè la D.
Anche a me pare corretta questa risposta.
"Albi":
Sia $D \in \RR^n $
Questo però è errato, è corretto $D \subseteq \RR^n $
Sono d'accordo con pilloeffe. Tuttavia Albi, osserva che in nessuna delle opzioni da te riportate compare $f \in \mathcal{C}^1(D)$; quindi, dato che sostieni che (d) sia la risposta corretta, credo che:
(i) o c'è un errore di battitura nelle opzioni da te riportate e che in (d) in realtà ci vada $f\in\mathcal{C}^1(D)$ (e non $f \in \mathcal{C}(D)$);
(ii) o, se non fosse un errore di battitura, e veramente la risposta (d) è $f \in \mathcal{C}(D)$, allora in realtà ha ragione il docente e la risposta corretta è la (a). Questo perché $f \in \mathcal{C}(D)$ significa che $f$ è solamente continua e dunque, non essendo continue le sue derivate parziali, non sono soddisfatte le ipotesi del teorema del differenziale totale.
(i) o c'è un errore di battitura nelle opzioni da te riportate e che in (d) in realtà ci vada $f\in\mathcal{C}^1(D)$ (e non $f \in \mathcal{C}(D)$);
(ii) o, se non fosse un errore di battitura, e veramente la risposta (d) è $f \in \mathcal{C}(D)$, allora in realtà ha ragione il docente e la risposta corretta è la (a). Questo perché $f \in \mathcal{C}(D)$ significa che $f$ è solamente continua e dunque, non essendo continue le sue derivate parziali, non sono soddisfatte le ipotesi del teorema del differenziale totale.
La d) dice solo che la funzione è continua, la a) implica che $f$ sia $C^1$.
Non vedo il problema... Risulta:
$f in C^2(D) => f in C^1(D) => f text( differenziabile in ) D$,
quindi A.
D'altra parte, le rimanenti sono condizioni solo necessarie alla differenziabilità; quindi potevi anche arrivarci per esclusione.
$f in C^2(D) => f in C^1(D) => f text( differenziabile in ) D$,
quindi A.
D'altra parte, le rimanenti sono condizioni solo necessarie alla differenziabilità; quindi potevi anche arrivarci per esclusione.
Quindi quando si omette il numero come in $C(D)$ si intende che ci sia lo zero?
Pensavo che scritto così era un $C^1(D)$ e non $C^0(D)$.
Se così fosse allora certo che è sbagliata la risposta D.
Pensavo che scritto così era un $C^1(D)$ e non $C^0(D)$.
Se così fosse allora certo che è sbagliata la risposta D.
P.S. Sono sicuro che queste sono le risposte del professore così scritte.
"Albi":
Quindi quando si omette il numero come in $C(D)$ si intende che ci sia lo zero?
Pensavo che scritto così era un $C^1(D)$ e non $C^0(D)$.
Eh, è una questione di notazioni in uso, puramente convenzionale: evidentemente per il tuo professore $C(D)$ è l'insieme delle funzioni continue su $D$ (che essendo l'esponente $1$ sottinteso come pensavi può generare ambiguità). Fino a non molto tempo fa si usavano le notazioni seguenti, che secondo me erano meno ambigue, anche se più pesanti:
$C^{(0)}(D) $: insieme delle funzioni continue su $D$
$C^{(1)}(D) $: insieme delle funzioni continue su $D$ con derivata prima continua
.
.
.
etc.
Il tuo professore evidentemente fa uso delle più leggere notazioni seguenti (che però immagino vi abbia fatto presente da qualche parte...
):$C^{(0)}(D) = C(D) $: insieme delle funzioni continue su $D$
$C^{(1)}(D) = C^1(D) $: insieme delle funzioni continue su $D$ con derivata prima continua
.
.
.
etc.
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