Domanda teorica sui limiti in 2 variabili
Se un limite, dipendente da x e y, ha un certo valore k, ottenuto mediante la sostituzione in coordinate polari, significa che il limite esiste e vale k oppure può anche non esistere?
Ad esempio, ho trovato il seguente limite:
$\lim_{(x,y) \to \(0,0)}((x^2+y^2)/y)$
Questo, sostituendo in coordinate polari, ha come valore 0, ma il risultato è che non esiste. Quindi se il limite ammette un certo valore con la sostituzione in coordinate polari non implica necessariamente la sua esistenza? Volevo sapere il motivo. Grazie
Ad esempio, ho trovato il seguente limite:
$\lim_{(x,y) \to \(0,0)}((x^2+y^2)/y)$
Questo, sostituendo in coordinate polari, ha come valore 0, ma il risultato è che non esiste. Quindi se il limite ammette un certo valore con la sostituzione in coordinate polari non implica necessariamente la sua esistenza? Volevo sapere il motivo. Grazie
Risposte
Come hai ben detto non esiste infatti se facciamo $(x,y)\rightarrow (0,0)$ lungo la parabola $y=x^2$ il limite viene 1.
Il metodo delle coordinate conferma l'esistenza del limite non è condizione necessaria ma solo sufficiente.
Inoltre sei sicuro di averlo applicato bene?
Supponiamo di voler mostrare l'esistenza del limite $\lim_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}f(x,y)$[nota]Dopo aver trovato un candidato limite con il metodo delle rette (condizione necessaria)[/nota], passiamo alle coordinate polari e determiniamo una funzione positiva $g(\rho)$ (dipendente solo da $\rho$) t.c.:
$$|f(x_0+\rho\sin(\theta),y_0+\rho\cos(\theta))-l|\leq g(\rho)$$
Segue che se $\lim_{\rho \rightarrow 0} g(\rho)=0$ allora il limite esiste ed è $l$.
Nel nostro caso $|\frac{\rho}{\cos(\theta)}|$ non può essere maggiorato da alcuna funzione positiva $g(\rho)$ dipendente solo da $\rho$ (perché?).
ATTENZIONE ripeto, questo non vuol dire che il limite non esiste ma solo che questo procedimento non ci porta a concludere nulla.
Morale della favola applicare il metodo delle coordinate per quel limite è inutile.
Il metodo delle coordinate conferma l'esistenza del limite non è condizione necessaria ma solo sufficiente.
Inoltre sei sicuro di averlo applicato bene?
Supponiamo di voler mostrare l'esistenza del limite $\lim_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}f(x,y)$[nota]Dopo aver trovato un candidato limite con il metodo delle rette (condizione necessaria)[/nota], passiamo alle coordinate polari e determiniamo una funzione positiva $g(\rho)$ (dipendente solo da $\rho$) t.c.:
$$|f(x_0+\rho\sin(\theta),y_0+\rho\cos(\theta))-l|\leq g(\rho)$$
Segue che se $\lim_{\rho \rightarrow 0} g(\rho)=0$ allora il limite esiste ed è $l$.
Nel nostro caso $|\frac{\rho}{\cos(\theta)}|$ non può essere maggiorato da alcuna funzione positiva $g(\rho)$ dipendente solo da $\rho$ (perché?).
ATTENZIONE ripeto, questo non vuol dire che il limite non esiste ma solo che questo procedimento non ci porta a concludere nulla.
Morale della favola applicare il metodo delle coordinate per quel limite è inutile.
Scusa ho scambiato seni con coseni
$y=\rho\sin(\theta)$
$x=\rho\cos(\theta)$
$y=\rho\sin(\theta)$
$x=\rho\cos(\theta)$
Grazie mille per la spiegazione
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