Domanda teorica analisi matematica 1

[davide.fede1]

Salve, esercitandomi per l'esame di A.M. 1 ho trovato una domanda alla quale non sia riuscito a rispondere, la scrivo: Sia $f: RR \to RR$ una funzione derivabile e tale che $f(x)* f'(x) >0$ per ogni $x in RR$ . Allora si deduce che.. E la risposta gusta è " $f$ ha certamente un asintoto orizzontale per $x rarr -oo$ " . Non so che ragionamento fare per arrivare alla conclusione, qualcuno può darmi una mano ?

[anto_zoolander]

$•$ per prima cosa notiamo che le condizioni $f(x)*f’(x)>0,forallx inRR$ e $f$ derivabile su $RR$ quindi continua su $RR$

sia $f$ che $f’$ non si annullano mai. Di fatto se per assurdo esistess $c inRR$ tale che $f(c)=0$ oppure $f’(c)=0$ si violerebbe subito la condizione $f(c)*f’(c)>0$: quindi nè $f$ nè $f’$ si annullano.

poiché $f$ è continua in $RR$ può essere soltanto positiva o negativa, se così non fosse ovvero esisterebbero $x,y inRR$ supponiamo senza perdere di generalità che $x
Quindi sia $f$ che $f’$ hanno lo stesso segno su $RR$ e senza perdere generalità possiamo supporre che $f,f’>0$ di fatto se così non fosse ci potremmo ricondurre a questo caso prendendo $g=-f$

quindi abbiamo che $f$ è strettamente crescente e strettamente positiva su tutto $RR$.
Non resta che mostrare che per $x->-infty$ si ottiene $f->0$

Idee?

Comunque un esempio è $f(x)=e^x$

[davide.fede1]

"anto_zoolander":$•$ per prima cosa notiamo che le condizioni $f(x)*f’(x)>0,forallx inRR$ e $f$ derivabile su $RR$ quindi continua su $RR$

sia $f$ che $f’$ non si annullano mai. Di fatto se per assurdo esistess $c inRR$ tale che $f(c)=0$ oppure $f’(c)=0$ si violerebbe subito la condizione $f(c)*f’(c)>0$: quindi nè $f$ nè $f’$ si annullano.

poiché $f$ è continua in $RR$ può essere soltanto positiva o negativa, se così non fosse ovvero esisterebbero $x,y inRR$ supponiamo senza perdere di generalità che $x
Quindi sia $f$ che $f’$ hanno lo stesso segno su $RR$ e senza perdere generalità possiamo supporre che $f,f’>0$ di fatto se così non fosse ci potremmo ricondurre a questo caso prendendo $g=-f$

quindi abbiamo che $f$ è strettamente crescente e strettamente positiva su tutto $RR$.
Non resta che mostrare che per $x->-infty$ si ottiene $f->0$

Idee?

Comunque un esempio è $f(x)=e^x$

Grazie mille, ora so come svolgere gli esercizi di questo genere!

[anto_zoolander]

Figurati. Era una domanda a risposta multipla? Quali erano le altre opzioni?
Giusto per capire mediamente quanto ci si potesse stare

[davide.fede1]

"anto_zoolander":Figurati. Era una domanda a risposta multipla? Quali erano le altre opzioni?
Giusto per capire mediamente quanto ci si potesse stare

Esatto risposta multipla. Le altre opzioni erano:

-esiste $z in RR$ per cui $f(z)=0$ (Falsa poiché $e^x$ è sempre positiva e non si annulla per nessun valore di $x$ )
-esiste $c>0$ per cui $|f(x)|>=c$ per ogni $x in RR$ (Falsa poiché la funzione non ammette massimi ne minimi)
-$f$ ha certamente un asintoto per $x rarr +oo$ (Falsa poichè come sappiamo per $x rarr +oo$ essa tende a $+oo$)

[anto_zoolander]

Ah vabbè volendo si poteva andare pure per esclusione