Domanda teoria derivata

[ElCastigador]

Vorrei porre una domanda teorica per quanto riguarda la derivazione:

In una funzione f(x) esiste la retta tangente al grafico nel punto c $ rArr $ f(x) è derivabile in c

E' vera o no questa implicazione.Ci sono casi in cui in una funzione esiste la retta tangente in un punto ma la funzione non è derivabile in un punto?Avevo pensato a |x| per quanto riguarda x=0 ma vorrei conferme.

[Rigel1]

Come definisci l'esistenza della retta tangente?

[ElCastigador]

Esiste la retta tangente nel punto c se esiste $ lim_(x -> c)(f(x)-f(c))/(x-c) $

[Rigel1]

"ElCastigador":Esiste la retta tangente nel punto c se esiste $ lim_(x -> c)(f(x)-f(c))/(x-c) $

Immagino tu intenda "se esiste finito il limite...".
In tal caso, quella è la definizione di derivabilità, dunque le due nozioni sono equivalenti (essendo la stessa nozione...).

[ElCastigador]

No esiste e basta,altrimenti appunto sarebbero la stessa cosa.Il mio professore le ha definite proprio in questo modo,esiste il limite e può essere infinito.In particolare:
-se il limite è +oo oppure -oo la tangente è verticale
-se il limite è 0 la tangente è orizzontale
-se il limite è finito tranne zero la tangente è obliqua

[Rigel1]

Beh, allora non sono equivalenti perché l'esistenza della retta tangente equivale all'esistenza del limite (finito o \(\pm\infty\)), mentre la derivabilità equivale all'esistenza del limite finito.